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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 157 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Cilindro

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1\ \text{m} de profundidade e volume igual a 12\ \text{m}^3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4\ \text{m}^3.

Vista da piscina circular em cinza, com uma ilha de lazer circular branca no centro. O centro está marcado como O; linhas tracejadas indicam os raios R, da piscina, e r, da ilha.

Considere 3 como valor aproximado para \pi.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de

  1. A
    1{,}6.
  2. B
    1{,}7.
  3. C
    2{,}0.
  4. D
    3{,}0.
  5. E
    3{,}8.
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Resolução comentada

O volume de um cilindro é V = \pi \cdot raio^2 \cdot altura. A piscina tem altura (profundidade) de 1\ \text{m} e a ilha, apoiada no fundo, também será considerada com 1\ \text{m} de altura.

  1. Raio da piscina: 12 = 3\cdot R^2\cdot 1 \Rightarrow R^2 = 4 \Rightarrow R = 2\ \text{m}.

  2. Volume da ilha: 3\cdot r^2\cdot 1 = 3r^2.

  3. O espaço para a água é o volume da piscina menos o da ilha: 12 - 3r^2.

  4. Esse volume deve ser de no mínimo 4\ \text{m}^3:

    12 - 3r^2 \geq 4 \Rightarrow 3r^2 \leq 8 \Rightarrow r^2 \leq \frac{8}{3}\approx 2{,}67

  5. Então r \leq \sqrt{2{,}67}\approx 1{,}63. Como 1{,}6^2 = 2{,}56 e 1{,}7^2 = 2{,}89, o valor 2{,}67 fica mais próximo de 2{,}56, e o raio máximo é aproximadamente 1{,}6\ \text{m}.

Observe que r precisa ser menor que R=2, o que é coerente com o resultado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BArredonda \sqrt{8/3} para cima; 1{,}7 daria r^2=2{,}89, que passa de 8/3 e deixaria menos de 4\ \text{m}^3 de água.
  • CÉ o raio R da piscina; a ilha ocuparia todo o fundo e não sobraria água.
  • DRaio maior que o da própria piscina, impossível.
  • ETambém maior que R; resulta de erro ao usar o volume, como dividir sem tirar a raiz.

Assuntos: Cilindro, Inequações e desigualdades.

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Nos cadernos: Amarelo 145Cinza 153Azul 157Rosa 167