Questão 136 do ENEM 2013

Question

As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15^\circ com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114\text{ m} (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Fotografia de uma das torres inclinadas Puerta de Europa, com a letra A no topo do edifício e a letra B na sua base.

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0{,}26 como valor aproximado para a tangente de 15^\circ e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

A
menor que 100\text{ m}^2.
B
entre 100\text{ m}^2 e 300\text{ m}^2.
C
entre 300\text{ m}^2 e 500\text{ m}^2.
D
entre 500\text{ m}^2 e 700\text{ m}^2.
E
maior que 700\text{ m}^2.

Answer 1

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Questão 136 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15^\circ com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114\text{ m} (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Fotografia de uma das torres inclinadas Puerta de Europa, com a letra A no topo do edifício e a letra B na sua base.

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0{,}26 como valor aproximado para a tangente de 15^\circ e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

A
menor que 100\text{ m}^2.
B
entre 100\text{ m}^2 e 300\text{ m}^2.
C
entre 300\text{ m}^2 e 500\text{ m}^2.
D
entre 500\text{ m}^2 e 700\text{ m}^2.
E
maior que 700\text{ m}^2.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O ângulo de 15^\circ é medido em relação à vertical. Na figura, o segmento AB representa a altura vertical de 114\ \text{m}. A inclinação faz o topo se deslocar horizontalmente em relação à base; pela posição dos pontos A e B, esse deslocamento corresponde ao lado l da base quadrada.

No triângulo retângulo formado pela altura, pelo deslocamento horizontal e pela aresta inclinada, a tangente é a razão entre o cateto oposto e o adjacente ao ângulo:

\tg 15^\circ=\frac{l}{114}

Usando a aproximação fornecida, obtemos l=114\cdot 0{,}26=29{,}64\ \text{m}. Como a base é quadrada, a área ocupada na avenida é o lado multiplicado por ele mesmo:

A=l^2=(29{,}64)^2=878{,}53\ \text{m}^2.

Esse valor é maior que 700\ \text{m}^2. Note que a pergunta pede a área da base, não a área de uma das faces inclinadas da torre. Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubestima a área: o quadrado do lado calculado é maior que 700\ \text{m}^2.
BA área de 878{,}53\ \text{m}^2 não está nesse intervalo.
CA área de 878{,}53\ \text{m}^2 não está nesse intervalo.
DA área de 878{,}53\ \text{m}^2 ultrapassa 700\ \text{m}^2.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 136 no caderno Azul do ENEM 2013

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