Questão 152 do ENEM 2012

Question

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

A
R \ge L / \sqrt{2}
B
R \ge 2L / \pi
C
R \ge L / \sqrt{\pi}
D
R \ge L / 2
E
R \ge L / (2\sqrt{2})

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

A
R \ge L / \sqrt{2}
B
R \ge 2L / \pi
C
R \ge L / \sqrt{\pi}
D
R \ge L / 2
E
R \ge L / (2\sqrt{2})

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para a base quadrada ficar totalmente apoiada na plataforma circular, o quadrado precisa caber dentro do círculo. O ponto mais distante do centro do quadrado é o vértice, então basta que os vértices não passem da borda da plataforma.

O pior caso é o quadrado centralizado, com o centro coincidindo com o centro da plataforma. A distância do centro a cada vértice é metade da diagonal.

Diagonal do quadrado de lado L: d = L\sqrt{2}.
Distância do centro ao vértice: \dfrac{d}{2} = \dfrac{L\sqrt{2}}{2}.
Condição de segurança: R \ge \dfrac{L\sqrt{2}}{2}.
Racionalizando: \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, logo R \ge \dfrac{L}{\sqrt{2}}.

Confira com um exemplo: se L = 2, a metade da diagonal é \sqrt{2} \approx 1{,}41. Um raio R = L/2 = 1 deixaria os vértices para fora, o que não serve.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana por usar L/2, o raio do círculo inscrito, quando o que importa é o círculo circunscrito, que passa pelos vértices.

Por que as outras alternativas estão erradas

B2L/\pi mistura perímetro e comprimento da circunferência, algo que não tem a ver com caber o quadrado.
CL/\sqrt{\pi} vem de igualar as áreas do quadrado e do círculo, mas o círculo maior em área ainda pode deixar os vértices de fora.
DL/2 é o raio do círculo inscrito no quadrado, que não cobre os vértices.
EL/(2\sqrt{2}) é a metade da distância correta; confunde a metade da diagonal com a metade dela de novo.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 152 no caderno Azul do ENEM 2012

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