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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 146 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Probabilidade condicional

Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Cor Urna 1 Urna 2
Amarela 4 0
Azul 3 1
Branca 2 2
Verde 1 3
Vermelha 0 4

Uma jogada consiste em:
1o) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2;
2o) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3o) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4o) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

  1. A
    Azul.
  2. B
    Amarela.
  3. C
    Branca.
  4. D
    Verde.
  5. E
    Vermelha.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Depois da transferência, a urna 2 tem 11 bolas. A probabilidade de tirar uma cor depende de qual bola veio da urna 1, então usamos a probabilidade total.

Se n_2 é a quantidade da cor na urna 2 e p_1 é a probabilidade de a bola transferida ter essa cor, então:

P = p_1\cdot\frac{n_2+1}{11} + (1-p_1)\cdot\frac{n_2}{11}=\frac{n_2+p_1}{11}

Calculamos n_2+p_1 para cada cor:

  1. Amarela: 0+\frac{4}{10}=0{,}4
  2. Azul: 1+\frac{3}{10}=1{,}3
  3. Branca: 2+\frac{2}{10}=2{,}2
  4. Verde: 3+\frac{1}{10}=3{,}1
  5. Vermelha: 4+0=4

O maior valor é o da vermelha: P=\frac{4}{11}\approx 36\%. Como nenhuma bola vermelha sai da urna 1, a urna 2 continua com 4 vermelhas em 11 bolas.

As demais ficam abaixo: verde \frac{3{,}1}{11}, branca \frac{2{,}2}{11}, e assim por diante.

Alternativa E.

Pegadinha: A cor amarela engana quem olha só a urna 1, onde ela é a mais frequente, esquecendo que a bola é retirada da urna 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAzul tem apenas \frac{1{,}3}{11} de chance, pois há só 1 azul na urna 2.
  • BAmarela é a mais provável na urna 1, mas na urna 2 só aparece se for transferida: \frac{0{,}4}{11}.
  • CBranca dá \frac{2{,}2}{11}, menor que a vermelha.
  • DVerde dá \frac{3{,}1}{11}, menor que \frac{4}{11} da vermelha.

Assuntos: Probabilidade condicional, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Ver como caiu na prova Questão 146 no caderno Azul do ENEM 2012

Nos cadernos: Amarelo 138Cinza 147Azul 146Rosa 159