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Questão 138 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H3 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?

  1. A
    600, 550, 350
  2. B
    300, 300, 150
  3. C
    300, 250, 200
  4. D
    200, 200, 100
  5. E
    100, 100, 50
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Resolução comentada

Seja N o total de laranjas. Cada pessoa carrega uma fração de N em cada parte do trajeto, dada pela proporção.

  1. Primeira parte, proporção 6:5:4 (soma 15): José leva \frac{6}{15}N, Carlos \frac{5}{15}N e Paulo \frac{4}{15}N.
  2. Segunda parte, proporção 4:4:2 (soma 10): José leva \frac{4}{10}N, Carlos \frac{4}{10}N e Paulo \frac{2}{10}N.

Comparando as frações de cada um na segunda parte com a primeira:

  • José: \frac{4}{10}=\frac{6}{15} (0,4 contra 0,4). Não mudou.
  • Carlos: \frac{4}{10}=0{,}4 contra \frac{5}{15}\approx 0{,}333. Aumentou \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15}.
  • Paulo: \frac{2}{10}=0{,}2 contra \frac{4}{15}\approx 0{,}267. Diminuiu.

Só Carlos levou mais laranjas na segunda parte, então é ele quem levou 50 a mais:

\frac{1}{15}N=50 \Rightarrow N=750

Na segunda parte:

  • José: 0{,}4\cdot 750=300
  • Carlos: 0{,}4\cdot 750=300
  • Paulo: 0{,}2\cdot 750=150

Conferindo: 300+300+150=750 e Carlos passou de 250 para 300, ou seja, 50 a mais.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asoma 1500 laranjas, o dobro do total que satisfaz a diferença de 50 de Carlos.
  • Cé a divisão do total na proporção 6:5:4 (primeira parte), não a da segunda.
  • Drespeita a proporção 4:4:2, mas o total 500 não gera diferença de 50 laranjas.
  • Erespeita a proporção 4:4:2, mas o total 250 não gera diferença de 50 laranjas.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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