Questão 137 do ENEM 2012

Question

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Figura 1: Quatro circunferências de mesmo raio mutuamente tangentes duas a duas externamente, cujos centros formam os vértices de um losango desenhado sobre elas.

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

Figura 2: Quatro circunferências tangentes duas a duas cujos centros formam os vértices de um losango, sendo as duas circunferências horizontais de raio maior do que as duas circunferências verticais.

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

A
300%.
B
200%.
C
150%.
D
100%.
E
50%.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Porcentagem

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Figura 1: Quatro circunferências de mesmo raio mutuamente tangentes duas a duas externamente, cujos centros formam os vértices de um losango desenhado sobre elas.

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

Figura 2: Quatro circunferências tangentes duas a duas cujos centros formam os vértices de um losango, sendo as duas circunferências horizontais de raio maior do que as duas circunferências verticais.

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

A
300%.
B
200%.
C
150%.
D
100%.
E
50%.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Quando duas circunferências são tangentes externamente, a distância entre seus centros é a soma dos raios. Cada lado do losango liga os centros de duas circunferências tangentes, então cada lado mede a soma dos dois raios.

Figura 1: as quatro circunferências têm raio r. Cada lado mede r + r = 2r.

P_1 = 4 \cdot 2r = 8r

Figura 2: duas circunferências, em vértices opostos, passam a ter raio 2r. As outras duas continuam com raio r. Cada lado liga uma circunferência grande a uma pequena, então mede 2r + r = 3r.

P_2 = 4 \cdot 3r = 12r

Aumento percentual:

\frac{P_2 - P_1}{P_1} = \frac{12r - 8r}{8r} = \frac{4r}{8r} = 0{,}5 = 50\%

O perímetro cresceu 50%. Não se deve concluir que o aumento é de 100% só porque o raio dobrou: apenas duas das quatro circunferências dobraram, e o lado é a soma de um raio grande com um pequeno.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que, dobrando o raio, o perímetro também dobra; a C engana quem confunde a razão 150% com o aumento.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe um aumento de 300%, valor que não corresponde à razão entre os perímetros 12r e 8r.
BConfunde a razão P_2/P_1 com o aumento, ou aplica o dobro do raio de forma indevida; o aumento real é bem menor.
C150% seria o valor da razão 12r/8r=1{,}5 tomada como aumento, esquecendo de subtrair o perímetro original.
DAssume que o perímetro dobra porque o raio de duas circunferências dobrou, ignorando que os lados são somas de raios diferentes.

Assuntos: Porcentagem, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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