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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função afim

Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) - CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

Não ter prejuízo significa que o lucro é maior ou igual a zero, isto é, LT(q) \geq 0.

O lucro é o faturamento menos o custo:

  1. LT(q) = FT(q) - CT(q) = 5q - (2q + 12)
  2. LT(q) = 3q - 12

Agora impomos a condição de não haver prejuízo:

  1. 3q - 12 \geq 0
  2. 3q \geq 12
  3. q \geq 4

A quantidade mínima é q = 4. Conferindo: com 4 unidades, FT = 5 \cdot 4 = 20 e CT = 2 \cdot 4 + 12 = 20, então o lucro é zero (não há prejuízo nem lucro). Com 3 unidades, FT = 15 e CT = 18, o que dá prejuízo de 3.

O custo fixo de 12 precisa ser "pago" pela diferença de 3 por unidade vendida (5 - 2), e 12 \div 3 = 4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Acom 0 unidades ainda há o custo fixo de 12, então o lucro é -12 (prejuízo).
  • Bcom 1 unidade o lucro é 3 - 12 = -9, ainda prejuízo.
  • Ccom 3 unidades o lucro é 9 - 12 = -3, ainda prejuízo.
  • Ecom 5 unidades há lucro de 3, mas não é a quantidade mínima, pois com 4 o lucro já é zero.

Assuntos: Função afim, Inequações e desigualdades.

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