Questão 168 do ENEM 2010

Question

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Duas taças: a Figura 1 tem formato de hemisfério, está cheia e indica R = 3 cm; a Figura 2 tem formato de cone, indica R = 3 cm e marca com h a altura do volume de champanhe.

Considere:

V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi R^3\qquad e\qquad V_{cone}=\frac{1}{3}\pi R^2h

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

A
1,33.
B
6,00.
C
12,00.
D
56,52.
E
113,04.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Cone e tronco de cone

Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Duas taças: a Figura 1 tem formato de hemisfério, está cheia e indica R = 3 cm; a Figura 2 tem formato de cone, indica R = 3 cm e marca com h a altura do volume de champanhe.

Considere:

V_{esfera}=\frac{4}{3}\pi R^3\qquad e\qquad V_{cone}=\frac{1}{3}\pi R^2h

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

A
1,33.
B
6,00.
C
12,00.
D
56,52.
E
113,04.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A taça 1 é um hemisfério, isto é, metade de uma esfera. Logo, seu volume é metade do volume da esfera. A taça 2 é um cone cuja base do champanhe tem o mesmo raio, R = 3\ \text{cm}. Queremos a altura h que dá volumes iguais.

Volume do hemisfério:

V_{hemi}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi\cdot 27=18\pi\ \text{cm}^3

Volume do cone:

V_{cone}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot h=3\pi h

Igualando os volumes:

3\pi h=18\pi \Rightarrow h=6\ \text{cm}

Outra forma de ver: \frac{2}{3}\pi R^3=\frac{1}{3}\pi R^2h leva a h=2R=6\ \text{cm}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que a taça é só metade da esfera e usa \frac{4}{3}\pi R^3, obtendo h=12.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa o volume da esfera inteira dividido incorretamente, ou erra a simplificação, chegando a um valor próximo de 4/3.
CUsa o volume da esfera inteira (36\pi) em vez do hemisfério, dobrando a altura.
DCalcula o volume numérico com \pi=3{,}14 e o toma como altura, sem igualar corretamente.
EUsa a esfera inteira e mistura o valor de \pi na conta, obtendo um valor exagerado.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Esfera.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 168 no caderno Azul do ENEM 2010

Nos cadernos: Amarelo 168Cinza 167Azul 168Rosa 167