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Questão 144 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

A resistência elétrica e as dimensões do condutor

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:

  • resistência (R) e comprimento (\ell), dada a mesma secção transversal (A);
  • resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (\ell) e
  • comprimento (\ell) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).

Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

Esquema comparando três pares de fios condutores cilíndricos de mesmo material. No topo, um fio de comprimento ℓ, área A e resistência R. Abaixo, três comparações: 1) à esquerda, um fio idêntico ao do topo (comprimento ℓ, área A, resistência R) e abaixo dele um com comprimento 2ℓ, área A e resistência 2R; 2) ao centro, um fio com comprimento ℓ, área A e resistência R e abaixo dele um com comprimento ℓ, área 2A e resistência R/2; 3) à direita, um fio com comprimento ℓ, área A e resistência R e abaixo dele um com comprimento 2ℓ, área 2A e resistência R.

Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (\ell), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (\ell) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,

  1. A
    direta, direta e direta.
  2. B
    direta, direta e inversa.
  3. C
    direta, inversa e direta.
  4. D
    inversa, direta e direta.
  5. E
    inversa, direta e inversa.
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Resolução comentada

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada pelo mesmo número. São inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é dividida por ele.

Analisando cada figura:

  1. R e \ell (mesma área A): o comprimento passa de \ell para 2\ell (dobra) e a resistência passa de R para 2R (dobra). Logo, a proporção é direta.

  2. R e A (mesmo comprimento \ell): a área passa de A para 2A (dobra) e a resistência passa de R para \dfrac{R}{2} (cai pela metade). Logo, a proporção é inversa.

  3. \ell e A (mesma resistência R): o comprimento passa de \ell para 2\ell (dobra) e a área passa de A para 2A (dobra), e a resistência continua R. Para manter R constante, as duas crescem juntas na mesma razão. Logo, a proporção é direta.

A sequência é: direta, inversa e direta.

Alternativa C.

Pegadinha: A terceira relação engana: como R fica constante, muitos acham que \ell e A seriam inversas, mas ambas dobram juntas, então são diretas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adiz que R e A são diretamente proporcionais, mas ao dobrar a área a resistência cai pela metade.
  • Berra R e A (é inversa) e também \ell e A (é direta, pois dobram juntos).
  • Ddiz que R e \ell são inversas, mas ao dobrar o comprimento a resistência também dobra.
  • Eerra as três relações: R e \ell é direta, R e A é inversa, \ell e A é direta.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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