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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 180 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10\% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitável um risco de até 35\% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

  1. A
    3 doses.
  2. B
    4 doses.
  3. C
    6 doses.
  4. D
    8 doses.
  5. E
    10 doses.
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Resolução comentada

Cada dose tem 10\% de chance de causar efeito colateral, ou seja, 90\% de chance de não causar. Para saber a chance de ocorrer algum efeito ao longo de n doses, é mais fácil usar o evento complementar: "algum efeito" é o contrário de "nenhum efeito em nenhuma dose".

Assumindo doses independentes, a probabilidade de nenhum efeito em n doses é 0{,}9^n. Logo, o risco é:

R(n) = 1 - 0{,}9^n

Queremos R(n) \le 0{,}35, isto é, 0{,}9^n \ge 0{,}65. Testando as opções:

  1. n=3: 0{,}9^3 = 0{,}729, risco de 27{,}1\% (aceitável).
  2. n=4: 0{,}9^4 = 0{,}6561, risco de 34{,}39\% (aceitável, pois é menor que 35\%).
  3. n=6: 0{,}9^6 \approx 0{,}531, risco de cerca de 46{,}9\% (acima do limite).

Como o risco só aumenta com mais doses, 8 e 10 doses também passam do limite.

O maior número de doses com risco de até 35\% é 4.

Alternativa B.

Pegadinha: Somar 10% por dose levaria a 3 doses (30%) como máximo, pois 4 doses dariam 40%; isso ignora que os riscos não se somam, e o cálculo correto pelo complementar dá 34,39% para 4 doses.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ aceitável, mas não é o maior número de doses permitido; 4 doses ainda ficam abaixo de 35%.
  • CCom 6 doses o risco é cerca de 46,9%, acima do limite.
  • DCom 8 doses o risco é cerca de 57%, muito acima do limite.
  • ECom 10 doses o risco é cerca de 65%; quem soma 10% por dose chegaria a 100%, mas de todo modo passa de 35%.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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