Questão 161 do ENEM 2009

Question

Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe

A
teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B
seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C
seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D
permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
E
empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H28 · Matemática: Mediana e moda

Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe

A
teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B
seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C
seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D
permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
E
empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A mediana de 10 notas é a média das duas notas centrais (5ª e 6ª) quando as notas estão em ordem.

Notas da equipe Gama em ordem crescente: 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.

A 5ª nota é 7 e a 6ª é 7, então a mediana é \frac{7+7}{2}=7. Essa é a pontuação da equipe Gama, que ficou em terceiro lugar (abaixo de 7,6 e 7,8).

O aluno que faltou tinha nota 0, que é a menor de todas. Em uma lista em que o zero já ocupa a 1ª posição, trocá-lo por uma nota x só muda a ordem se x for maior que 0. Vamos ver o efeito:

Se x for pelo menos 7, as notas centrais passam a ser 7 (5ª) e \min(x,8)... na prática: a lista sem o zero é 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10, e com x\ge 7 inserido, a 5ª nota é 7 e a 6ª é 7 (ou x se x<7).

Calculando os casos que interessam, sem o zero, as 9 notas em ordem são: 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.

x=10: lista 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10; 10. Centrais: 7 e 8, mediana 7,5. Menor que 7,6, continua em terceiro.
x=9 ou x=8: centrais 7 e 8, mediana 7,5. Também continua em terceiro.
x=0: mediana 7 (a própria original).

O máximo que a mediana pode chegar é 7,5, pois a 5ª nota é no máximo 7 e a 6ª no máximo 8. Como 7,5 < 7,6, a equipe Gama nunca ultrapassa a Delta.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom nota 0 a mediana é 7, não 6,5.
BCom nota 10 a mediana é 7,5, menor que 7,8 da Ômega.
CCom nota 8 a mediana é 7,5, abaixo dos 7,6 da Delta, então segue em terceiro.
ECom nota 9 a mediana é 7,5, diferente dos 7,8 da Ômega.

Assunto: Mediana e moda.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 161 no caderno Azul do ENEM 2009

Nos cadernos: Amarelo 160Cinza 161Azul 161Rosa 162