Questão 157 do ENEM 2009

A caixa é um cubo, então seu volume é V = a^3, em que a é a aresta. Para achar a aresta, tiramos a raiz cúbica do volume.

1. Aresta da caixa: a = \sqrt[3]{13.824}. Como 24^3 = 24 \cdot 24 \cdot 24 = 576 \cdot 24 = 13.824, temos a = 24\ \text{cm}.

2. Tamanho da esfera: o raio é 6\ \text{cm}, logo o diâmetro é 12\ \text{cm}. Uma esfera ocupa, no mínimo, um cubo imaginário de aresta 12\ \text{cm} que a envolve.

3. Quantas esferas cabem em cada direção: \dfrac{24}{12} = 2 esferas no comprimento, 2 na largura e 2 na altura.

4. Total: 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 esferas.

Não dá para colocar mais esferas empilhando de outro jeito? Não há folga, porque a aresta tem exatamente 2 diâmetros. Nesse arranjo, cada esfera toca as faces da caixa, e o número máximo é 8.

Não se deve dividir os volumes (13.824 pelo volume da esfera), pois as esferas deixam espaços vazios entre si e o resultado não seria o número real de esferas.

Alternativa B.

Pegadinha: Usar o raio (6 cm) em vez do diâmetro (12 cm) faz achar 4 esferas por aresta e 64 no total; e dividir volumes ignora o espaço vazio entre as esferas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconsidera apenas uma camada de 2×2, esquecendo a segunda camada em altura.
• Cnão corresponde a nenhum arranjo possível, pois só cabem 2 esferas por aresta.
• Dresulta de confundir a aresta 24 com o número de esferas ou de um arranjo impossível.
• Evem de dividir volumes ou usar o raio como se fosse o espaço de cada esfera, o que dá mais esferas do que cabem.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Potenciação e radiciação, Esfera.

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