PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ENEM 2007

Prova · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao lado.

Litografia Belvedere, de M. C. Escher, mostrando um edifício de múltiplos pavimentos com colunas, escadas e arcos construídos em perspectiva paradoxal e fisicamente impossível no espaço tridimensional.

Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real?

  1. A
    Desenho de um cubo impossível em perspectiva, cujas arestas frontais e traseiras se cruzam e se conectam de maneira paradoxal.
  2. B
    Desenho do triângulo de Penrose, uma figura triangular impossível cujas três barras sólidas formam ângulos retos aparentes em perspectiva.
  3. C
    Desenho de uma estrutura de prisma hexagonal impossível, cujas colunas verticais se alternam conectando a base frontal ao topo traseiro de forma paradoxal.
  4. D
    Desenho de uma figura triangular impossível com divisões e travessas internas entrelaçadas em perspectiva paradoxal.
  5. E
    Desenho de um octaedro regular vazado, com doze arestas de mesmo comprimento formando duas pirâmides de base quadrada unidas pela base.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para o marceneiro construir o modelo, a figura precisa ser a projeção plana de um objeto que realmente existe no espaço. As figuras de Escher são "impossíveis" porque as ligações entre as barras se contradizem: uma barra aparece à frente de outra num ponto e atrás dela em outro.

Vamos testar cada desenho:

  1. O cubo de arestas cruzadas (A) tem arestas que ora passam na frente, ora atrás de outras, algo impossível num cubo real.
  2. O triângulo de Penrose (B) mostra três barras com ângulos retos entre si. Isso é impossível, pois os ângulos internos de um triângulo somam 180^\circ, e três ângulos de 90^\circ somariam 270^\circ.
  3. O prisma hexagonal (C) tem as colunas ligadas de forma contraditória entre base e topo.
  4. A figura triangular com travessas internas (D) repete o paradoxo do triângulo de Penrose.
  5. O octaedro regular vazado (E) tem 12 arestas iguais, duas pirâmides de base quadrada unidas pela base. É um sólido real, e as ripas de mesmo tamanho formam as arestas, com cada ripa ligando os vértices corretos. Não há contradição de profundidade.

Portanto, só o octaedro pode ser reproduzido como modelo tridimensional.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO cubo tem arestas que se cruzam com profundidade contraditória (ora na frente, ora atrás), então não existe no espaço.
  • BO triângulo de Penrose teria três ângulos retos aparentes, somando 270^\circ, o que é impossível num triângulo.
  • CO prisma hexagonal tem colunas que ligam base e topo de modo paradoxal, impossível de montar.
  • DA figura triangular com travessas entrelaçadas repete o paradoxo do triângulo de Penrose.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Poliedros e relação de Euler.

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