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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 do ENEM 2006

Prova · Matemática: Cilindro

Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Tipo I

Molde retangular de 20 cm de largura por 10 cm de altura sendo enrolado para formar o cilindro do Tipo I

Molde retangular de 10 cm de largura por 20 cm de altura sendo enrolado para formar o cilindro do Tipo II

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será

  1. A
    o triplo.
  2. B
    o dobro.
  3. C
    igual.
  4. D
    a metade.
  5. E
    a terça parte.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Ao enrolar o cartão, um dos lados vira a altura do cilindro e o outro lado vira o comprimento da circunferência da base, 2\pi r. O volume é V=\pi r^2 h.

Tipo I: a altura é h=10\ \text{cm} e a circunferência da base mede 20\ \text{cm}.

  1. 2\pi r = 20 \Rightarrow r=\dfrac{10}{\pi}
  2. V_I=\pi\cdot\dfrac{100}{\pi^2}\cdot 10=\dfrac{1000}{\pi}\ \text{cm}^3

Tipo II: a altura é h=20\ \text{cm} e a circunferência da base mede 10\ \text{cm}.

  1. 2\pi r = 10 \Rightarrow r=\dfrac{5}{\pi}
  2. V_{II}=\pi\cdot\dfrac{25}{\pi^2}\cdot 20=\dfrac{500}{\pi}\ \text{cm}^3

Como o custo é proporcional ao volume:

\frac{V_I}{V_{II}}=\frac{1000/\pi}{500/\pi}=2

O custo da vela do tipo I é o dobro do custo da vela do tipo II.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana: os cartões têm a mesma área, mas o volume depende do raio ao quadrado, então os volumes diferem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde a razão dos lados do cartão com a razão dos volumes, ou erra a conta do raio.
  • CSupõe que, como os cartões são iguais (mesma área lateral), os volumes também seriam iguais.
  • DInverte a razão, calculando V_{II}/V_I.
  • EInverte a razão e ainda erra o fator, sem elevar o raio ao quadrado corretamente.

Assuntos: Cilindro, Razão e proporção.

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Ver como caiu na prova Questão 59 no caderno Amarela do ENEM 2006