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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 do ENEM 2006

Prova · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo:

Pedro, camisa 6: — Tive uma idéia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a taça.

Tadeu, camisa 2: — Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... Acho que ele está levando alguma vantagem nessa proposta...

Ricardo, camisa 12: — Pensando bem... Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos...

Desse diálogo conclui-se que

  1. A
    Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos.
  2. B
    Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.
  3. C
    Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taça.
  4. D
    Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.
  5. E
    não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte.
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Resolução comentada

Com dois dados, há 6 \times 6 = 36 resultados possíveis, todos com a mesma chance. Mas as somas não são igualmente prováveis, porque algumas somas podem sair de mais combinações do que outras.

  1. Soma 2: só (1,1), ou seja, 1 caso. Probabilidade \frac{1}{36}. É a camisa de Tadeu.
  2. Soma 12: só (6,6), ou seja, 1 caso. Probabilidade \frac{1}{36}. É a camisa de Ricardo.
  3. Juntos, Tadeu e Ricardo têm 1 + 1 = 2 casos, ou seja, \frac{2}{36}.
  4. Soma 6, camisa de Pedro: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), ou seja, 5 casos. Probabilidade \frac{5}{36}.

Comparando: \frac{5}{36} > \frac{2}{36}. Pedro tem mais chances sozinho do que os dois juntos. Assim, Tadeu tinha razão ao desconfiar de que Pedro levava vantagem, e Ricardo também tinha razão ao dizer que Pedro teria mais chances que os dois juntos.

Portanto, os dois tinham razão, pois juntos tinham menos chances que Pedro.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem acha que as 11 somas possíveis (2 a 12) são equiprováveis, esquecendo de contar as combinações dos dois dados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que todas as somas são igualmente prováveis, mas as somas centrais têm mais combinações.
  • BInverte a comparação: os dois juntos têm \frac{2}{36}, menos que os \frac{5}{36} de Pedro.
  • CAfirma chances iguais, mas \frac{2}{36} \neq \frac{5}{36}.
  • EO resultado é calculável: dá para comparar as probabilidades contando os casos favoráveis.

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Amarela do ENEM 2006