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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do ENEM 2001

Prova · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Um município de 628\text{ km}^2 é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10\text{ km} do município, conforme mostra a figura:

Esboço da área do município em formato trapezoidal com bases horizontais e lados perpendiculares à esquerda indicados por linha tracejada com cantos retos. No lado direito inclinado, nos vértices A e B, encontram-se setores circulares hachurados de raio 10 km que representam o alcance das emissoras. As distâncias de 10 km estão indicadas ao longo das bordas a partir dos pontos A e B.

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras.

Essa probabilidade é de, aproximadamente,

  1. A
    20\%.
  2. B
    25\%.
  3. C
    30\%.
  4. D
    35\%.
  5. E
    40\%.
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Resolução comentada

A probabilidade é a razão entre a área coberta pelas emissoras e a área total do município, 628\ \text{km}^2.

Na figura, os dois setores circulares têm raio 10\ \text{km} e estão nos vértices A e B do trapézio. Os ângulos internos nesses vértices são suplementares, porque os lados paralelos (as bases) são cortados pelo lado inclinado. Então os dois ângulos somam 180^\circ.

Assim, os dois setores juntos formam um semicírculo de raio 10 km (metade de um círculo):

  1. Área do círculo: \pi r^2 = 3{,}14\cdot 100 = 314\ \text{km}^2.
  2. Área dos dois setores juntos: \dfrac{314}{2} = 157\ \text{km}^2.
  3. Os setores não se sobrepõem: o lado inclinado tem pelo menos 10+10 = 20\ \text{km}, e cada raio cobre 10\ \text{km} a partir de seu vértice, então eles apenas se tocam no ponto médio desse lado.
  4. Probabilidade: \dfrac{157}{628} = 0{,}25 = 25\%.

Note que 628 = 2\cdot 314, o que confirma que a conta foi pensada com \pi = 3{,}14.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa área menor que o semicírculo, subestimando a região coberta (por exemplo, dois quartos de círculo mal calculados).
  • CNão corresponde à razão 157/628; superestima a área dos setores.
  • DNão corresponde à razão 157/628; superestima a área dos setores.
  • ECorresponde a tomar mais que o semicírculo, como se os setores somassem cerca de 251 km².

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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