Questão 39 do ENEM 2000

Question

Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez.

1^a opção: comprar três números para um único sorteio.

2^a opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio.

3^a opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios.

Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, respectivamente, a 1^a, a 2^a ou a 3^a opções, é correto afirmar que:

A
X < Y < Z.
B
X = Y = Z.
C
X > Y = Z.
D
X = Y > Z.
E
X > Y > Z.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 39 do ENEM 2000

Prova · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez.

1^a opção: comprar três números para um único sorteio.

2^a opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio.

3^a opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios.

Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, respectivamente, a 1^a, a 2^a ou a 3^a opções, é correto afirmar que:

A
X < Y < Z.
B
X = Y = Z.
C
X > Y = Z.
D
X = Y > Z.
E
X > Y > Z.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Em cada sorteio, sai um número entre dez. Quem compra k números num sorteio ganha com probabilidade \frac{k}{10}. "Ganhar algum prêmio" significa ganhar pelo menos uma vez, então é mais fácil calcular o complemento (perder em todos os sorteios).

1ª opção (três números, um sorteio): X = \frac{3}{10} = 0{,}3.
2ª opção (dois números no primeiro sorteio, um no segundo): a chance de perder é \frac{8}{10}\cdot\frac{9}{10} = 0{,}72. Logo Y = 1 - 0{,}72 = 0{,}28.
3ª opção (um número em cada um dos três sorteios): a chance de perder é \left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0{,}729. Logo Z = 1 - 0{,}729 = 0{,}271.

Comparando: 0{,}3 > 0{,}28 > 0{,}271, ou seja, X > Y > Z.

A intuição ajuda: quando se divide a aposta em vários sorteios, há a possibilidade de ganhar mais de uma vez, e esses casos "desperdiçam" probabilidade na soma. Quanto mais o jogo é dividido, menor a chance de ganhar pelo menos uma vez.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana quem soma as probabilidades dos sorteios (\frac{2}{10}+\frac{1}{10} etc.) e conclui que as três opções são iguais, ignorando que ganhar em vários sorteios se sobrepõe.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ainverte a ordem: acha que dividir a aposta em mais sorteios aumenta a chance, mas X>Y>Z.
Bsoma as probabilidades de cada sorteio (\frac{3}{10} em todas), esquecendo que ganhar em mais de um sorteio se sobrepõe.
Ctoma Y=Z, mas 0{,}28\neq0{,}271.
Dtoma X=Y por somar as frações, ignorando a sobreposição no cálculo de Y.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 39 no caderno Amarela do ENEM 2000