Questão 172 do ENEM PPL 2024

Question

Uma fábrica utiliza latas cilíndricas como embalagem de seus produtos. Para embalar um novo produto, essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. O representante de uma empresa de embalagens disponibilizou para essa fábrica cinco opções de latas, relacionando as medidas das latas novas com as que estão em uso. São elas:

I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura;
II: triplicar as medidas da área da base e da altura;
III: triplicar a medida do raio e manter a da altura;
IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura;
V: triplicar as medidas do raio e da altura.

O preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica.

As exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção

A
I.
B
II.
C
III.
D
IV.
E
V.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Cilindro

Uma fábrica utiliza latas cilíndricas como embalagem de seus produtos. Para embalar um novo produto, essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. O representante de uma empresa de embalagens disponibilizou para essa fábrica cinco opções de latas, relacionando as medidas das latas novas com as que estão em uso. São elas:

I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura;
II: triplicar as medidas da área da base e da altura;
III: triplicar a medida do raio e manter a da altura;
IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura;
V: triplicar as medidas do raio e da altura.

O preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica.

As exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção

A
I.
B
II.
C
III.
D
IV.
E
V.

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Resolução comentada

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h. Se o raio é multiplicado por a e a altura por b, o volume fica multiplicado por a^2 \cdot b. A fábrica quer um volume de pelo menos 3 vezes o atual, com o menor custo. Como o preço é proporcional ao volume, o menor custo é o do menor volume que ainda atenda à exigência.

Calculando o fator de multiplicação de cada opção:

I: raio ×6, altura igual: 6^2 \cdot 1 = 36.
II: área da base ×3 e altura ×3: 3 \cdot 3 = 9.
III: raio ×3, altura igual: 3^2 \cdot 1 = 9.
IV: raio igual, altura ×3: 1^2 \cdot 3 = 3.
V: raio ×3 e altura ×3: 3^2 \cdot 3 = 27.

Todas as opções atendem ao mínimo de 3 vezes o volume. A de menor volume, e portanto de menor preço, é a IV, com fator 3, exatamente o triplo.

Alternativa D.

Pegadinha: Triplicar o raio parece triplicar o volume, mas o raio entra ao quadrado, então o volume fica 9 vezes maior (opção III); só triplicar a altura triplica o volume.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO volume fica 36 vezes maior, o maior custo entre as opções.
BTriplicar a área da base e a altura dá volume 9 vezes maior, mais caro que o necessário.
CTriplicar o raio multiplica o volume por 9, pois o raio é elevado ao quadrado.
ETriplicar raio e altura multiplica o volume por 27, custo bem acima do mínimo.

Assuntos: Cilindro, Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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