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Questão 169 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H25 · Matemática: Inequações e desigualdades

A partir de um exame clínico, ficou constatado que uma pessoa encontrava-se com uma grave deficiência de vitaminas X e Y. Ela foi orientada a fazer 100% de reposição diária de cada vitamina. Devido à sua condição socioeconômica, ela só dispõe dos alimentos Z e W para suprir essa deficiência. Os alimentos Z e W custam, respectivamente, R$ 3,00 e R$ 8,00 por quilo. Segue um quadro com a porcentagem que cada 100 g desses dois alimentos fornece de cada vitamina.

Vitamina Alimento Z
(% por 100 g)		 Alimento W
(% por 100 g)
X 25 8
Y 0 16

O valor mínimo diário, em real, que a pessoa gastará para suprir suas necessidades de vitaminas X e Y, consumindo os alimentos Z e W, é

  1. A
    5,00.
  2. B
    5,60.
  3. C
    6,10.
  4. D
    6,20.
  5. E
    10,00.
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Resolução comentada

Este é um problema de otimização com restrições: queremos o menor custo atendendo a 100% de cada vitamina.

Seja z a quantidade de alimento Z e w a de W, ambas em porções de 100 g. Os preços por porção de 100 g são R$ 0,30 (Z) e R$ 0,80 (W).

Restrições:

  • Vitamina X: 25z + 8w \geq 100
  • Vitamina Y: 0z + 16w \geq 100

Custo: C = 0{,}30z + 0{,}80w.

Da vitamina Y, só W fornece: 16w \geq 100, logo w \geq 6{,}25 porções, ou seja, 625 g de W.

Com w = 6{,}25, a vitamina X recebe 8 \cdot 6{,}25 = 50\%. Falta 50%, que vem de Z:

25z \geq 50 \Rightarrow z \geq 2 porções, ou seja, 200 g de Z.

Como os dois custos são positivos, o mínimo está no vértice dessa região, com w = 6{,}25 e z = 2. Aumentar W além do mínimo custa mais caro por vitamina X obtida do que usar Z, então não compensa.

Custo:

  1. Z: 2 \cdot 0{,}30 = 0{,}60
  2. W: 6{,}25 \cdot 0{,}80 = 5{,}00
  3. Total: 0{,}60 + 5{,}00 = 5{,}60

O valor mínimo é R$ 5,60.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana ao ser o custo apenas do W, que já supre 100% de Y, mas deixa a vitamina X em apenas 50%.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só o custo do alimento W (R$ 5,00), esquecendo o Z necessário para completar a vitamina X.
  • CNão corresponde a nenhuma combinação que atenda às duas vitaminas; resulta de erro de conta.
  • DValor sem base nas restrições, provavelmente de erro no cálculo das quantidades.
  • EUsa quantidades exageradas, como 1 kg de W a menos ou um consumo além do necessário, que não é o mínimo.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Porcentagem.

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