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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 157 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Uma fábrica de produtos químicos utiliza, para armazenar a sua produção, recipientes na forma de cilindros circulares retos, com 1 metro de altura e raio externo da base igual a 25 cm. Para facilitar o transporte desse tipo de recipiente, cada um deles será colocado dentro de uma caixa, na forma de paralelepípedo retangular reto de base quadrada, e com a mesma altura do cilindro. A empresa deseja construir a menor caixa possível em que possa colocar cada cilindro.

De acordo com o texto, a medida interna do lado da base da caixa, em centímetro, a ser construída será igual a

  1. A
    25.
  2. B
    35.
  3. C
    39.
  4. D
    50.
  5. E
    157.
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Resolução comentada

O cilindro tem base circular de raio 25\ \text{cm}, logo o diâmetro é 2 \cdot 25 = 50\ \text{cm}.

A caixa tem a mesma altura do cilindro (1 m), então só a base importa: um círculo precisa caber dentro de um quadrado.

Para o cilindro caber, o lado do quadrado deve ser, no mínimo, igual ao diâmetro do círculo. Se o lado fosse menor que 50\ \text{cm}, o círculo não caberia, pois a largura dele em qualquer direção é 50\ \text{cm}.

A menor caixa possível é aquela em que o círculo fica inscrito no quadrado, tocando os quatro lados. Nesse caso:

  1. Diâmetro do círculo: 2r = 2 \cdot 25 = 50\ \text{cm}.
  2. Lado do quadrado: \ell = 2r = 50\ \text{cm}.

Os valores 35 e 39 lembram a diagonal ou o lado de um quadrado inscrito no círculo, mas aqui a situação é a inversa: o círculo está dentro do quadrado, e não o quadrado dentro do círculo.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula o perímetro da circunferência (2\pi \cdot 25\approx157); a alternativa A engana quem usa o raio no lugar do diâmetro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa o raio (25 cm) como lado, mas o círculo de diâmetro 50 cm não cabe num quadrado de 25 cm.
  • Bvalor próximo de 25\sqrt{2}\approx 35, que confunde a situação com a de um quadrado inscrito no círculo.
  • Cresulta de conta com \sqrt{2} ou aproximação incorreta; o lado mínimo não é esse e o cilindro não caberia.
  • Eusa o comprimento da circunferência (2\pi r \approx 157 cm), que não é a largura do cilindro.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Cilindro.

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