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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 157 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática · H6 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

A trajetória de um avião durante um voo entre duas cidades ocorre dentro de áreas de controle de tráfego. Durante um voo, é exigido que o avião sobrevoe pontos de controle situados no solo e demarcados entre a origem (O) e o destino (D) da aeronave. Assim, embora a trajetória do avião ocorra num espaço tridimensional, para o controlador de voo, a visualização representativa dessa trajetória é dada por uma linha poligonal plana, em que três pontos de controle sucessivos, nas representações, devem ser não colineares.

Disponível em: www.kaspersky.com.br. Acesso em: 21 out. 2019 (adaptado).

As figuras apresentam algumas possibilidades dessas representações, nas quais todos os pontos de controle estão representados.

Figura I: linha poligonal com quatro segmentos ligando O a D

Figuras II e IV: a figura II mostra uma linha com cinco segmentos ligando O a D; a figura IV mostra uma poligonal quase fechada com O e D muito próximos no topo

Figura III: segmento de reta único ligando O a D

Figura V: linha poligonal com dois segmentos unidos em um vértice intermediário ligando O a D

Suponha que um avião fez um voo com origem diferente do destino final e cuja representação apresente três pontos de controle.

Nesse voo, qual das figuras apresentadas é compatível com as restrições estabelecidas?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

O enunciado pede uma poligonal em que todos os pontos de controle estão representados, com origem diferente do destino e três pontos de controle. Três pontos de controle sucessivos precisam ser não colineares.

A questão gira em torno de saber o que conta como "ponto de controle": são os pontos entre a origem e o destino, ou seja, os vértices intermediários da poligonal, sem contar O e D.

Contando os vértices intermediários em cada figura:

  1. Figura I: 4 segmentos, logo 3 vértices intermediários.
  2. Figura II: 5 segmentos, logo 4 vértices intermediários.
  3. Figura III: 1 segmento, logo 0 vértices intermediários.
  4. Figura IV: O e D são pontos distintos, muito próximos, e a poligonal tem 3 vértices intermediários, mas ela é quase fechada. Vendo a figura: O, três vértices e D. Há 4 segmentos ligando O ao primeiro vértice, dois vértices e D... Na imagem, os vértices intermediários são 3 (esquerdo, inferior, direito), e o segmento de D ao vértice direito também é usado. O ponto D fica perto de O, mas os pontos são distintos, e a figura também tem 3 vértices intermediários.
  5. Figura V: 2 segmentos, logo 1 vértice intermediário.

As figuras I e IV têm 3 vértices intermediários. Se os três pontos de controle sucessivos incluem O, o vértice e D, é preciso checar a colinearidade. Na figura I, os vértices em sequência formam ziguezague e nenhum trio é colinear. Na figura IV, O e D estão praticamente no mesmo lugar, o que a torna uma configuração quase fechada, feita para confundir com a condição de origem diferente do destino.

A figura I atende às restrições sem ambiguidade: 3 pontos de controle intermediários, todos não colineares e O diferente de D.

Alternativa A.

Pegadinha: A figura IV engana por ter três vértices como a I, mas O e D quase se sobrepõem, parecendo uma poligonal fechada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BTem quatro pontos de controle intermediários, não três.
  • CÉ um segmento único, sem nenhum ponto de controle intermediário.
  • DTem O e D quase coincidentes, o que a faz parecer poligonal fechada e desrespeita a ideia de origem diferente do destino.
  • ETem só um ponto de controle intermediário.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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