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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 136 do ENEM PPL 2022

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Matrizes e determinantes

Uma faculdade oferece dois cursos diferentes na área de Humanas. Para um aluno ingressar nesses cursos, o vestibular contém questões objetivas e uma redação, e a nota final do candidato é a soma dessas notas, utilizando o seguinte critério de pesos:

• questões objetivas: peso 1 para o curso I e peso 1 para o curso II;
• redação: peso 2 para o curso I e peso 3 para o curso II.

Um candidato que concorre aos dois cursos obteve nota X nas questões objetivas e nota Y na redação. Para analisar sua nota para o curso I e para o curso II, o candidato representa sua nota com um produto de matrizes \text{A} \cdot \text{B}, em que a matriz A representa os pesos, e a matriz B contém as notas obtidas pelo candidato. A matriz resultante \text{A} \cdot \text{B} é uma matriz coluna, em que, na primeira linha, tem sua nota final para o curso I e, na segunda linha, tem sua nota final para o curso II.

Nessas condições, qual representação algébrica gera o resultado final desse candidato nos dois cursos?

  1. A
    \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
  2. B
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
  3. C
    \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
  4. D
    \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix}
  5. E
    \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix}
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Resolução comentada

Cada linha do produto A\cdot B é obtida multiplicando os elementos de uma linha de A pelos elementos da coluna de B e somando.

As notas finais que queremos são:

  1. Curso I: 1\cdot X + 2\cdot Y = X + 2Y
  2. Curso II: 1\cdot X + 3\cdot Y = X + 3Y

Como o resultado deve ter o curso I na primeira linha e o curso II na segunda, cada linha de A corresponde a um curso, e as colunas de A correspondem às notas, na ordem em que aparecem em B.

Com B=\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}, a primeira coluna de A traz os pesos das objetivas (X) e a segunda traz os pesos da redação (Y):

  • linha 1 (curso I): \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
  • linha 2 (curso II): \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix}

Assim:

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X+2Y \\ X+3Y \end{pmatrix}

Essa é a representação correta.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas A e C usam os mesmos números na disposição errada (transposta ou colunas trocadas), enganando quem não confere o produto linha por coluna.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColoca os pesos de cada curso nas colunas (matriz transposta), gerando X+Y e 2X+3Y.
  • CMultiplica X pelos pesos da redação e Y pelos das objetivas, gerando 2X+Y e 3X+Y.
  • DTroca a ordem das linhas: a primeira linha dá 2Y+3X, que não é a nota do curso I, e a segunda dá Y+X.
  • EUsa a matriz transposta com B invertida, gerando Y+X e 2Y+3X, que não são as notas pedidas.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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