Questão 151 do ENEM PPL 2019

Question

Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.

C = \frac{G \cdot d^4}{8 \cdot D^3 \cdot N}

O dono de uma fábrica possui uma mola M_1 em um de seus equipamentos, que tem características D_1, d_1, N_1 e G_1, com uma constante elástica C_1. Essa mola precisa ser substituída por outra, M_2, produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica C_2, da seguinte maneira: I) D_2 = \frac{D_1}{3}; II) d_2 = 3d_1; III) N_2 = 9N_1. Além disso, a constante de elasticidade G_2 do novo material é igual a 4G_1.

O valor da constante C_2 em função da constante C_1 é

A
C_2 = 972 \cdot C_1
B
C_2 = 108 \cdot C_1
C
C_2 = 4 \cdot C_1
D
C_2 = \frac{4}{3} \cdot C_1
E
C_2 = \frac{4}{9} \cdot C_1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 151 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.

C = \frac{G \cdot d^4}{8 \cdot D^3 \cdot N}

O dono de uma fábrica possui uma mola M_1 em um de seus equipamentos, que tem características D_1, d_1, N_1 e G_1, com uma constante elástica C_1. Essa mola precisa ser substituída por outra, M_2, produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica C_2, da seguinte maneira: I) D_2 = \frac{D_1}{3}; II) d_2 = 3d_1; III) N_2 = 9N_1. Além disso, a constante de elasticidade G_2 do novo material é igual a 4G_1.

O valor da constante C_2 em função da constante C_1 é

A
C_2 = 972 \cdot C_1
B
C_2 = 108 \cdot C_1
C
C_2 = 4 \cdot C_1
D
C_2 = \frac{4}{3} \cdot C_1
E
C_2 = \frac{4}{9} \cdot C_1

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A ideia é substituir os novos valores na fórmula e comparar com a constante original.

A mola M_1 tem:

C_1 = \frac{G_1 \cdot d_1^4}{8 \cdot D_1^3 \cdot N_1}

A mola M_2 tem G_2 = 4G_1, d_2 = 3d_1, D_2 = \frac{D_1}{3} e N_2 = 9N_1. Substituindo:

C_2 = \frac{4G_1 \cdot (3d_1)^4}{8 \cdot \left(\frac{D_1}{3}\right)^3 \cdot 9N_1}

Calculando cada potência:

(3d_1)^4 = 81\,d_1^4
\left(\frac{D_1}{3}\right)^3 = \frac{D_1^3}{27}

Então:

C_2 = \frac{4 \cdot 81 \cdot G_1 d_1^4}{8 \cdot \frac{D_1^3}{27} \cdot 9N_1}

O denominador com \frac{1}{27} passa multiplicando no numerador: 27 \cdot 4 \cdot 81 = 8748. No denominador fica 8 \cdot 9 \cdot D_1^3 N_1 = 72\,D_1^3 N_1.

C_2 = \frac{8748}{72} \cdot \frac{G_1 d_1^4}{D_1^3 N_1}

Como C_1 = \frac{1}{8}\cdot\frac{G_1 d_1^4}{D_1^3 N_1}, temos \frac{G_1 d_1^4}{D_1^3 N_1} = 8C_1. Logo:

C_2 = \frac{8748}{72}\cdot 8\,C_1 = \frac{8748}{9}C_1 = 972\,C_1

Conferindo pelos fatores: 4 \cdot 81 \cdot 27 / 9 = 4 \cdot 81 \cdot 3 = 972.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Berra as potências, por exemplo usando 3^3\cdot 4 sem o fator 3^4 de d e dividindo por 9 de forma incorreta.
Cconsidera só o efeito de G_2 = 4G_1 e ignora as mudanças de d, D e N.
Dcombina apenas o fator 4 com uma divisão por 3, sem elevar d e D às potências corretas.
Eusa 4/9, ou seja, considera apenas G e N e desconsidera d e D.

Assuntos: Grandezas proporcionais e divisão proporcional, Potenciação e radiciação.

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Questão 151 no caderno Azul do ENEM PPL 2019

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