Questão 164 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

A figura mostra uma anticlepsidra, que é um sólido geométrico obtido ao se retirar dois cones opostos pelos vértices de um cilindro equilátero, cujas bases coincidam com as bases desse cilindro. A anticlepsidra pode ser considerada, também, como o sólido resultante da rotação de uma figura plana em torno de um eixo.

Anticlepsidra: sólido geométrico formado por um cilindro equilátero do qual se retiraram dois cones opostos pelos vértices com bases coincidentes com as bases do cilindro

Disponível em: www.klickeducacao.com.br. Acesso em: 12 dez. 2012 (adaptado).

A figura plana cuja rotação em torno do eixo indicado gera uma anticlepsidra como a da figura acima é

  1. A
    Eixo de rotação vertical à esquerda de um retângulo, com região sombreada à direita formada por dois triângulos e região branca triangular com base no eixo
  2. B
    Eixo de rotação vertical com um triângulo sombreado voltado para a direita com um vértice no eixo
  3. C
    Eixo de rotação vertical adjacente a um retângulo, com dois triângulos sombreados encostados no eixo e na base/topo, deixando um triângulo em branco voltado para o vértice no eixo
  4. D
    Eixo de rotação vertical à esquerda de um retângulo dividido por diagonais em quatro triângulos, sendo os dois triângulos laterais sombreados
  5. E
    Eixo de rotação vertical com um triângulo sombreado com base apoiada no eixo e vértice apontando para a direita
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Resolução comentada

Um sólido de revolução é formado quando uma região plana gira em torno de um eixo. Para identificar a região correta, você pode imaginar um corte da anticlepsidra que passe pelo eixo do cilindro e observar apenas um dos lados desse eixo.

Nesse corte, o cilindro corresponde a um retângulo: sua largura é o raio r e sua altura é 2r, pois o cilindro é equilátero.

Os dois cones retirados aparecem como dois triângulos: um junto ao topo e outro junto à base do retângulo. Ambos têm um vértice no ponto médio do eixo, onde os vértices dos cones se encontram.

Ao retirar esses dois triângulos, sobra um único triângulo, com um vértice no ponto médio do eixo e o lado oposto na borda direita do retângulo. Essa é a região sombreada em B.

Quando ela gira, o lado direito produz a superfície lateral cilíndrica, enquanto os lados inclinados delimitam as duas cavidades cônicas. Assim, o sólido obtido é exatamente o cilindro sem os dois cones.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AProduz uma cavidade com maior raio no meio, em vez de duas cavidades cônicas com bases nas extremidades.
  • CA região sombreada gera os dois cones que deveriam ser retirados do cilindro.
  • DMantém uma região sólida central e produz vazios anulares, não as duas cavidades cônicas desejadas.
  • EGera dois cones unidos pelas bases, sem a superfície lateral cilíndrica da anticlepsidra.

Assuntos: sólidos de revolução, cilindros e cones.

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