Questão 160 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

Em certa página de um livro foi anotada uma senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da informação de que a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à página posterior é igual a um certo número k que será informado posteriormente.

Denotando por n o número da página da senha, qual é a expressão que relaciona n e k?

  1. A
    3n^2 - 4n = k - 2
  2. B
    3n^2 + 4n = k - 2
  3. C
    3n^2 = k + 2
  4. D
    3n^2 = k - 2
  5. E
    3n^2 = k
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Resolução comentada

As três páginas são a anterior, a da senha e a posterior, ou seja, n-1, n e n+1. O enunciado diz que a soma dos quadrados desses três números vale k.

  1. Monte a equação: (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = k.
  2. Desenvolva os produtos notáveis: (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 e (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1.
  3. Some tudo: n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 = 3n^2 + 2.
  4. Os termos -2n e +2n se cancelam, e sobra 3n^2 + 2 = k.
  5. Isole 3n^2: 3n^2 = k - 2.

Assim, a relação entre n e k é 3n^2 = k - 2.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem troca o sinal ao passar o 2 para o outro lado; a E engana quem esquece os termos +1 dos produtos notáveis.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMantém um termo -4n que não existe, pois os termos em n se cancelam.
  • BMantém um termo +4n inexistente; os termos -2n e +2n se anulam.
  • CErra o sinal ao isolar: passa o 2 somando (k+2) em vez de subtrair.
  • EEsquece o +1 de cada quadrado do binômio, perdendo a constante 2.

Assuntos: produtos notáveis, equação algébrica.

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