Questão 159 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.

Círculo de centro O e raio r inscrito em um hexágono regular de vértices superiores A e B, com o lado AB medindo L. Do centro O, há um raio perpendicular ao lado AB e um segmento que vai do ponto O ao vértice B.

Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3\pi metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é

  1. A
    9
  2. B
    6\sqrt{3}
  3. C
    9\sqrt{2}
  4. D
    12
  5. E
    12\sqrt{3}
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Resolução comentada

O raio do círculo inscrito é o apótema do hexágono, ou seja, a distância do centro O ao meio de um lado. O hexágono regular se divide em 6 triângulos equiláteros de lado L, e o apótema é a altura de cada um deles.

  1. Área do círculo: \pi r^2 = 3\pi, logo r^2 = 3 e r = \sqrt{3}\ \text{m}.

  2. Relação entre r e L: a altura de um triângulo equilátero de lado L vale \frac{L\sqrt{3}}{2}. Então \frac{L\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}, o que dá L = 2\ \text{m}.

  3. Área de um triângulo equilátero: \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\ \text{m}^2.

  4. Área do hexágono: 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\ \text{m}^2.

Conferindo pela fórmula área = semiperímetro × apótema: \frac{6\cdot 2}{2}\cdot\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem raiz, que não sai de nenhum passo correto; a área do hexágono envolve \sqrt{3}.
  • CIntroduz \sqrt{2}, que não aparece em hexágonos regulares (só \sqrt{3}).
  • DResultado inteiro sem \sqrt{3}; ignora que a altura do triângulo equilátero tem \sqrt{3}.
  • EUsa o raio r como se fosse o lado, ou dobra a área; daria L=4 e área 24\sqrt{3} ou similar, não 12\sqrt{3} corretamente.

Assuntos: hexágono regular, área do círculo, apótema.

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