Questão 140 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A rotação é o “giro” de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:

Plano cartesiano mostrando os eixos cartesianos x e y e, no primeiro quadrante, uma figura no formato de coração com seu vértice inferior identificado pela letra A.

1a) Reflexão no eixo x;
2a) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;
3a) Reflexão no eixo y;
4a) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;
5a) Reflexão no eixo x.

Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

Qual a posição final da figura?

  1. A
    Coração inclinado para a direita, com o vértice A localizado na parte inferior esquerda.
  2. B
    Coração invertido de ponta-cabeça, com o vértice A localizado na parte superior esquerda.
  3. C
    Coração invertido de ponta-cabeça e inclinado para a esquerda, com o vértice A localizado na parte superior direita.
  4. D
    Coração inclinado para a esquerda, com o vértice A localizado na parte inferior direita.
  5. E
    Coração deitado na horizontal apontando para a direita, com o vértice A na ponta direita.
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Resolução comentada

Vamos acompanhar a direção em que o coração aponta, isto é, o vetor que vai do vértice A até o centro dos lóbulos. No início, o coração está em pé: A embaixo e os lóbulos em cima, direção 90^\circ.

Uma reflexão em um eixo muda o ângulo \theta da direção: no eixo x, \theta \to -\theta; no eixo y, \theta \to 180^\circ-\theta. Uma rotação soma ou subtrai o ângulo. A posição de A também muda, mas a forma final se identifica pela direção e pelo lado em que o coração fica.

  1. Reflexão no eixo x: 90^\circ \to -90^\circ (coração de cabeça para baixo, A em cima).
  2. Rotação de 90^\circ anti-horário: -90^\circ + 90^\circ = 0^\circ (lóbulos para a direita, A na ponta esquerda).
  3. Reflexão no eixo y: 180^\circ - 0^\circ = 180^\circ (lóbulos para a esquerda, A na ponta direita).
  4. Rotação de 45^\circ horário: 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ (lóbulos para cima e à esquerda, A embaixo à direita).
  5. Reflexão no eixo x: -135^\circ (lóbulos para baixo e à esquerda, A em cima à direita).

O coração está de ponta-cabeça, inclinado para a esquerda, com A no vértice superior direito. Isso corresponde à figura da alternativa C.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana: é a posição depois da 4ª transformação, e quem esquece a 5ª reflexão no eixo x marca ela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACoração inclinado para a direita com A embaixo à esquerda; a direção final não é -135^\circ, e sim algo perto de 45^\circ.
  • BCoração de cabeça para baixo mas com A no canto superior esquerdo, o que é o espelhamento horizontal do resultado correto (esquece uma reflexão no eixo y).
  • DCoração para cima e à esquerda com A embaixo à direita; é a posição após a 4ª transformação, sem aplicar a última reflexão.
  • ECoração deitado com A na ponta direita, é a posição após a 3ª transformação, sem a rotação de 45^\circ e a última reflexão.

Assuntos: transformações isométricas, reflexão e rotação.

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