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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Um artista utilizou uma caixa cúbica transparente para a confecção de sua obra, que consistiu em construir um polígono IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, disposto no interior da caixa. Os vértices desse polígono estão situados em pontos médios de arestas da caixa. Um esboço da sua obra pode ser visto na figura.

Desenho em perspectiva de uma caixa cúbica transparente com vértices A, B, C, E, F, G e H. No interior da caixa, há uma região hexagonal sombreada correspondente ao polígono regular IMNKPQ, com vértices I, M, N, K, P e Q situados nos pontos médios das arestas AE, AB, BC, CG, GH e EH, respectivamente.

Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas têm o mesmo comprimento de IK?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    4
  4. D
    8
  5. E
    9
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Resolução comentada

Num hexágono regular existem 9 diagonais: 6 "curtas" (que pulam um vértice, de comprimento \ell\sqrt{3}) e 3 "longas" (que passam pelo centro, de comprimento 2\ell).

Primeiro, vamos descobrir se IK é curta ou longa. Os vértices do hexágono, em ordem, são I, M, N, K, P, Q. Entre I e K há dois lados seguidos (I \to M \to N \to K são três lados). Contando: I e K estão separados por M e N, ou seja, por dois vértices no meio. Então IK liga vértices opostos e é uma diagonal longa.

Confirmando com a geometria do cubo: I é o ponto médio de AE e K é o ponto médio de CG. Tomando o cubo de aresta 2, o segmento IK tem projeção na base de comprimento 2\sqrt{2} (diagonal da base) e altura 0 (ambos estão na altura 1). Logo IK = 2\sqrt{2}. O lado do hexágono, por exemplo IM, vale \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Assim IK = 2\ell, de fato uma diagonal longa.

As diagonais longas são as que ligam vértices opostos: IK, MP e NQ. São 3 no total.

Distintas de IK, restam 2 com o mesmo comprimento: MP e NQ.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que IK é diagonal curta (que são 6, ou 5 além de IK... ) ou confunde os tipos de diagonal; é preciso identificar que IK é a longa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconta apenas uma das diagonais longas restantes, esquecendo que há três diagonais de mesmo comprimento que IK.
  • Cconta as diagonais curtas como se fossem iguais a IK, ou confunde o número delas.
  • Dnúmero sem correspondência com a contagem de diagonais do hexágono, ignora que IK é diagonal longa.
  • Eé o total de diagonais do hexágono, sem separar curtas e longas.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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