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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função T(h) = A + B\text{ sen}\bigg(\frac{\pi}{12}(h - 12)\bigg), sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite (0 \le h < 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26^\circ\text{C}, a mínima 18^\circ\text{C}, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.

Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?

  1. A
    A = 18 e B = 8
  2. B
    A = 22 e B = -4
  3. C
    A = 22 e B = 4
  4. D
    A = 26 e B = -8
  5. E
    A = 26 e B = 8
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Resolução comentada

A função é do tipo T = A + B\,\text{sen}(\theta). Como o seno varia entre -1 e 1, a temperatura varia entre A-|B| e A+|B|.

  1. Máxima e mínima: A+|B| = 26 e A-|B| = 18.
  2. Somando as duas: 2A = 44, logo A = 22.
  3. Então |B| = 26 - 22 = 4, ou seja, B = 4 ou B = -4.

Para escolher o sinal, use a condição de que a tarde seja mais fria que a manhã. Veja o argumento do seno: \theta = \frac{\pi}{12}(h-12).

  • Ao meio-dia, h=12 e \theta = 0, então T = A = 22.
  • Pela manhã (h<12), \theta é negativo (entre -\pi e 0), e o seno é negativo.
  • À tarde (12<h<24), \theta está entre 0 e \pi, e o seno é positivo.

Se B = 4, a manhã teria T = 22 + 4\cdot(\text{negativo}) < 22 (mais frio) e a tarde T>22 (mais quente). Isso contraria o pedido.

Se B = -4, a manhã fica acima de 22 e a tarde abaixo de 22, o que atende ao pedido.

Portanto A = 22 e B = -4.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana: A e o módulo de B estão certos, mas o sinal de B, que decide se a tarde é mais fria, está invertido.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atoma A como a mínima e B como a amplitude total, mas A é o valor médio e B a semiamplitude.
  • Cacerta A e |B|, mas com B positivo a tarde fica mais quente que a manhã, contrariando o pedido.
  • Dtoma A como a máxima; com B = -8 a temperatura iria de 18 a 34, e a mínima de 18 não seria acompanhada da máxima de 26.
  • Eusa A = 26 e B = 8, o que dá máxima 34 e mínima 18, além de tarde mais quente.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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