Questão 180 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática

Num campeonato de futebol de 2012, um time sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e empates têm pontuações positivas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de cada vitória é maior que o valor de cada empate.

Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, propôs aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os times que perdem menos ao longo do campeonato. Cada vitória e cada empate continuariam com a mesma pontuação de 2012.

Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de derrotas (D), no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o ano de 2013?

  1. A
    P = 3V + E
  2. B
    P = 3V - 2D
  3. C
    P = 3V + E - D
  4. D
    P = 3V + E - 2D
  5. E
    P = 3V + E + 2D
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Resolução comentada

Primeiro, é preciso descobrir quanto vale cada vitória e cada empate em 2012. Sejam v e e esses valores, inteiros positivos com v > e.

Com os dados do campeão, a derrota vale zero:

22v + 11e = 77

Dividindo tudo por 11:

2v + e = 7

Agora testamos valores inteiros positivos:

  1. Se v = 1, então e = 5. Não serve, pois v precisa ser maior que e.
  2. Se v = 2, então e = 3. Também não serve, pois v < e.
  3. Se v = 3, então e = 1. Serve: os dois são positivos e v > e.

Logo, vitória vale 3 pontos e empate vale 1 ponto.

No sistema proposto para 2013, vitória e empate mantêm esses valores, e cada derrota tira 2 pontos, ou seja, vale -2. A pontuação fica:

P = 3V + 1\cdot E + (-2)\cdot D = 3V + E - 2D

Confirmando com o campeão: 3\cdot 22 + 11 - 2\cdot 5 = 66 + 11 - 10 = 67, que é menor que 77, como esperado, pois as 5 derrotas agora descontam pontos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a pontuação de 2012, sem considerar o desconto das derrotas.
  • BDesconta as derrotas, mas esquece os pontos dos empates.
  • CDesconta apenas 1 ponto por derrota, e não 2.
  • ESoma 2 pontos por derrota em vez de subtrair.

Assuntos: sistema de equações, expressão algébrica, interpretação de texto.

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