Questão 165 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática

No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120^\circ.

Diagrama circular em malha polar com circunferências concêntricas de raios inteiros de 1 a 8 centradas em O e 12 raios igualmente espaçados a cada 30 graus. Destacam-se os pontos: O no centro; A e P sobre o raio a 30° nos raios 2 e 4, respectivamente; H sobre o raio horizontal a 0° no raio 7; C e G sobre o raio vertical para baixo (270°) nos raios 3 e 7; B, D e F sobre o raio a 150° nos raios 2, 4 e 6; e E sobre o raio a 120° no raio 6.

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto

  1. A
    B.
  2. B
    D.
  3. C
    E.
  4. D
    F.
  5. E
    G.
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Resolução comentada

Use a malha como coordenadas polares: cada ponto fica definido pelo raio (distância até O) e pelo ângulo medido a partir da horizontal.

  1. O ponto A está a 30° e no raio 2. O ponto P está na mesma reta, a 30°, no raio 4. Logo, P está 2 unidades além de A.

  2. Primeiro movimento: 2 unidades no mesmo sentido de O para A. Isso é seguir para fora ao longo da reta de 30°, saindo do raio 4 e chegando ao raio 4+2=6, ainda a 30°.

  3. Segundo movimento: um arco de 120^\circ no sentido anti-horário, sobre a circunferência de raio 6. O ângulo do ponto passa a ser 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ.

  4. Ponto final: raio 6 e ângulo de 150°. Na figura, a reta de 150° contém B (raio 2), D (raio 4) e F (raio 6). O ponto procurado é F.

O ponto E também está no raio 6, mas a 120°, o que corresponderia a um arco de apenas 90^\circ.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C (E) engana: está no raio 6 correto, mas o ângulo de 120° vem de errar a contagem do arco (90° em vez de 120°).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AB está no raio 2 a 150°; o raio final é 6, não 2.
  • BD está no raio 4 a 150°; esquece de somar as 2 unidades do primeiro movimento.
  • CE está no raio 6, mas a 120°, o que corresponde a um arco de 90° e não de 120°.
  • EG está a 270° no raio 7, sem relação com o raio 6 e o ângulo de 150° obtidos.

Assuntos: coordenadas polares, circunferência e arcos, localização no plano.

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