Questão 152 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática

O padrão internacional ISO 216 define os tamanhos de papel utilizados em quase todos os países. O formato-base é uma folha retangular de papel chamada de A0, cujas dimensões estão na razão 1 : \sqrt{2}. A partir de então, dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, definindo os demais formatos, conforme o número da dobradura. Por exemplo, A1 é a folha A0 dobrada ao meio uma vez, A2 é a folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e assim sucessivamente, conforme figura.

Esquema dos formatos de papel A0, A1 e A2. À esquerda, um retângulo horizontal de contorno contínuo identificado como A0. Ao centro, a metade esquerda de um retângulo de mesmo tamanho tem contorno contínuo e é identificada como A1; a metade direita tem contorno tracejado. À direita, o quarto superior esquerdo de um retângulo de mesmo tamanho tem contorno contínuo e é identificado como A2; as demais partes são delimitadas por linhas tracejadas.

Um tamanho de papel bastante comum em escritórios brasileiros é o A4, cujas dimensões são 21{,}0\ \text{cm} por 29{,}7\ \text{cm}.

Quais são as dimensões, em centímetros, da folha A0?

  1. A
    21{,}0 \times 118{,}8
  2. B
    84{,}0 \times 29{,}7
  3. C
    84{,}0 \times 118{,}8
  4. D
    168{,}0 \times 237{,}6
  5. E
    336{,}0 \times 475{,}2
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Resolução comentada

Cada dobradura ao meio, feita no lado maior, divide esse lado por 2. A folha A4 é a A0 dobrada 4 vezes. Então, para voltar de A4 até A0, desfazemos as dobras uma a uma, sempre dobrando o lado menor da folha atual.

A4: 21{,}0 \times 29{,}7. O lado maior é 29{,}7 e o menor é 21{,}0.

  1. A3: o lado maior da A3 é o dobro do lado menor da A4, ou seja, 2\cdot 21{,}0 = 42{,}0. A folha A3 fica 29{,}7 \times 42{,}0.
  2. A2: o lado maior da A2 é 2\cdot 29{,}7 = 59{,}4. A folha A2 fica 42{,}0 \times 59{,}4.
  3. A1: o lado maior da A1 é 2\cdot 42{,}0 = 84{,}0. A folha A1 fica 59{,}4 \times 84{,}0.
  4. A0: o lado maior da A0 é 2\cdot 59{,}4 = 118{,}8. A folha A0 fica 84{,}0 \times 118{,}8.

Conferindo a razão: 118{,}8/84{,}0 \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}. Confere.

Outra forma de ver: cada dobra troca o papel por um retângulo de área pela metade, então A0 tem área 2^4 = 16 vezes a da A4. Como 16 vezes a área multiplica cada lado por 4 (semelhança), 21{,}0\cdot 4 = 84{,}0 e 29{,}7\cdot 4 = 118{,}8.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem usa 16 (fator das áreas) para multiplicar os lados, em vez de 4.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMultiplica só o lado maior por 4 e mantém o menor, quebrando a razão 1:\sqrt{2}.
  • BMultiplica só o lado menor por 4 e mantém o maior, quebrando a razão 1:\sqrt{2}.
  • DMultiplica os lados por 8, como se fossem 6 dobras, em vez de 4.
  • EMultiplica os lados por 16 (confunde o fator de área com o fator de comprimento).

Assuntos: razões e proporções, semelhança de figuras, potências.

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