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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 149 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática · Matemática: Sistemas de numeração

Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:

Figura 1: símbolos maias para os números de 0 a 19, dispostos em quatro fileiras. O zero é representado por uma concha; de 1 a 4, por um a quatro pontos; de 5 a 9, por uma barra horizontal com zero a quatro pontos acima; de 10 a 14, por duas barras horizontais com zero a quatro pontos acima; de 15 a 19, por três barras horizontais com zero a quatro pontos acima.

Figura 2: representação maia em três posições verticais. Na terceira posição, três pontos sobre uma barra, acompanhados de $8\ x\ 20^2$; na segunda posição, um ponto sobre uma barra, acompanhados de $6\ x\ 20^1$; na primeira posição, dois pontos sobre duas barras, acompanhados de $12\ x\ 1$.

Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2.

Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 20^0 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 20^1 = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal.

Um arqueólogo achou o hieroglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico:

Figura 3: hieroglifo maia em três posições verticais, identificadas à direita. Na terceira posição, três pontos sobre duas barras horizontais; na segunda posição, uma concha; na primeira posição, quatro pontos sobre três barras horizontais.

Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).

O número, no sistema decimal, que o hieroglifo da Figura 3 representa é igual a

  1. A
    279.
  2. B
    539.
  3. C
    2\,619.
  4. D
    5\,219.
  5. E
    7\,613.
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Resolução comentada

O sistema é posicional de base 20: cada posição vale uma potência de 20 (a primeira vale 20^0, a segunda 20^1, a terceira 20^2). Em cada posição, lemos o símbolo pela Figura 1: ponto vale 1, barra vale 5 e concha vale 0.

  1. Primeira posição: quatro pontos sobre três barras. As três barras valem 3 \times 5 = 15 e os pontos valem 4, então o algarismo é 15 + 4 = 19. Contribuição: 19 \times 1 = 19.

  2. Segunda posição: concha, que vale 0. Contribuição: 0 \times 20 = 0.

  3. Terceira posição: três pontos sobre duas barras. As duas barras valem 2 \times 5 = 10 e os pontos valem 3, então o algarismo é 10 + 3 = 13. Contribuição: 13 \times 20^2 = 13 \times 400 = 5\,200.

  4. Soma: 5\,200 + 0 + 19 = 5\,219.

O hieroglifo representa 5\,219.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 13\times 20 + 19 = 279, tratando a terceira posição como 20^1 e ignorando a concha.
  • BUsa 13\times 20 + 19 + 260 ou algo equivalente, com potência errada; não respeita 20^2 na terceira posição.
  • CCalcula a terceira posição com valor errado (por exemplo, 6{,}5\times400 ou contagem incorreta das barras e pontos).
  • EErra a leitura dos símbolos, somando um valor a mais na terceira ou na primeira posição.

Assunto: Sistemas de numeração.

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