Questão 166 do ENEM PPL 2014

Question

Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.

Figura 1: cilindro reto com diâmetro da base medindo 6 cm e altura medindo 7 cm. Figura 2: pião composto por uma semiesfera acoplada à base circular de um cone, cuja altura mede 4 cm.

O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.

Dados:

O volume de uma esfera de raio r é \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3;

O volume do cilindro de altura h e área da base S é S\cdot h;

O volume do cone de altura h e área da base S é \frac{1}{3}\cdot S\cdot h;

Por simplicidade, aproxime \pi para 3.

A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é

A
45.
B
48.
C
72.
D
90.
E
99.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 166 do ENEM PPL 2014

2º dia · Matemática · Matemática: Cilindro

Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.

Figura 1: cilindro reto com diâmetro da base medindo 6 cm e altura medindo 7 cm. Figura 2: pião composto por uma semiesfera acoplada à base circular de um cone, cuja altura mede 4 cm.

O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.

Dados:

O volume de uma esfera de raio r é \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3;

O volume do cilindro de altura h e área da base S é S\cdot h;

O volume do cone de altura h e área da base S é \frac{1}{3}\cdot S\cdot h;

Por simplicidade, aproxime \pi para 3.

A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é

A
45.
B
48.
C
72.
D
90.
E
99.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O cilindro tem diâmetro 6 cm, então o raio é 3 cm, e altura 7 cm. O pião tem a base do cone e a semiesfera com o maior raio possível, ou seja, 3 cm, para aproveitar a madeira. Altura do pião: cone (4 cm) + semiesfera (raio 3 cm) = 7 cm, que é a altura máxima do cilindro. Isso confirma que o pião com maior altura usa todo o cilindro.

Volume do cilindro: V_c = \pi r^2 h = 3\cdot 3^2\cdot 7 = 189\ \text{cm}^3.
Volume do cone: V_{cone} = \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 3^2\cdot 4 = 36\ \text{cm}^3.
Volume da semiesfera: metade da esfera, \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot 3\cdot 3^3 = \frac{1}{2}\cdot 108 = 54\ \text{cm}^3.
Volume do pião: 36 + 54 = 90\ \text{cm}^3.
Madeira descartada: 189 - 90 = 99\ \text{cm}^3.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D (90) é o volume do pião; quem esquece de subtrair do volume do cilindro cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a diferença correta; provavelmente erro no volume da semiesfera ou do cone.
BNão corresponde à diferença entre 189 e 90; erro nas contas dos volumes.
CResultado de erro de cálculo dos volumes, não corresponde a 189 − 90.
DÉ o volume do pião (90), não o da madeira descartada.

Assuntos: Cilindro, Cone e tronco de cone, Esfera.

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Questão 166 no caderno Cinza do ENEM PPL 2014