Questão 180 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

A estimativa do número de indivíduos de uma população de animais frequentemente envolve a captura, a marcação e, então, a liberação de alguns desses indivíduos. Depois de um período, após os indivíduos marcados se misturarem com os não marcados, realiza-se outra amostragem. A proporção de indivíduos desta segunda amostragem que já estava marcada pode ser utilizada para estimar o tamanho da população, aplicando-se a fórmula:

\frac{\text{m}_2}{\text{n}_2} = \frac{\text{n}_1}{\text{N}}

Onde:

  • \text{n}_1 = número de indivíduos marcados na primeira amostragem;
  • \text{n}_2 = número de indivíduos marcados na segunda amostragem;
  • \text{m}_2 = número de indivíduos da segunda amostragem que foram marcados na primeira amostragem;
  • \text{N} = tamanho estimado da população total.

SADAVA, D. et al. Vida: a ciência da biologia. Porto Alegre: Artmed, 2010 (adaptado).

Durante uma contagem de indivíduos de uma população, na primeira amostragem foram marcados 120; na segunda amostragem foram marcados 150, dos quais 100 já possuíam a marcação.

O número estimado de indivíduos dessa população é

  1. A
    188.
  2. B
    180.
  3. C
    125.
  4. D
    96.
  5. E
    80.
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Resolução comentada

A fórmula é a ideia de proporção: a fração de animais marcados na segunda amostra (\frac{m_2}{n_2}) deve ser parecida com a fração de animais marcados na população inteira (\frac{n_1}{N}). Assim, descobrimos N.

O enunciado usa n_2 como o total da segunda amostragem e m_2 como os que já vinham marcados. Os dados são:

  1. n_1 = 120 (marcados na primeira amostragem);
  2. n_2 = 150 (indivíduos da segunda amostragem);
  3. m_2 = 100 (os que já tinham marca).

Substituindo na fórmula:

\frac{100}{150} = \frac{120}{N}

Simplificando o lado esquerdo: \frac{100}{150} = \frac{2}{3}. Então:

\frac{2}{3} = \frac{120}{N}

Multiplicando em cruz: 2N = 3 \cdot 120 = 360, logo N = 180.

Verificação: 120 marcados em 180 animais dão \frac{120}{180} = \frac{2}{3}, igual à proporção observada na segunda amostra.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a proporção; não resulta de nenhuma conta correta com os dados.
  • CVem de \frac{100 \cdot 150}{120}, multiplicando m_2 por n_2 em vez de montar a proporção correta.
  • DVem de \frac{120 \cdot 120}{150}, uma proporção montada de forma errada.
  • EVem de \frac{120 \cdot 100}{150}, isolando N de modo invertido.

Assuntos: proporção, regra de três.

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