Questão 141 do ENEM PPL 2013

Question

Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:

Lata cilíndrica com altura h, raio da base r e volume de 350 mL. Lata cilíndrica com altura h/2, raio da base r' e volume de 175 mL.

De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?

A
r' = \sqrt{r}
B
r' = \dfrac{r}{2}
C
r' = r
D
r' = 2r
E
r' = \sqrt[3]{2}

Answer 1

Questão 141 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:

Lata cilíndrica com altura h, raio da base r e volume de 350 mL. Lata cilíndrica com altura h/2, raio da base r' e volume de 175 mL.

De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?

A
r' = \sqrt{r}
B
r' = \dfrac{r}{2}
C
r' = r
D
r' = 2r
E
r' = \sqrt[3]{2}

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Resolução comentada

O volume de um cilindro é a área da base vezes a altura: V = \pi r^2 h.

A lata atual tem raio r, altura h e volume de 350 mL:

350 = \pi r^2 h

A nova lata tem raio r', altura \dfrac{h}{2} e volume de 175 mL:

175 = \pi r'^2 \cdot \dfrac{h}{2}

Para comparar, dividimos a segunda equação pela primeira:

\dfrac{175}{350} = \dfrac{\pi r'^2 \cdot \frac{h}{2}}{\pi r^2 h}
O lado esquerdo vale \dfrac{1}{2}. No lado direito, \pi e h se cancelam e sobra \dfrac{r'^2}{2r^2}.
Então \dfrac{1}{2} = \dfrac{r'^2}{2r^2}.
Multiplicando por 2: 1 = \dfrac{r'^2}{r^2}, ou seja, r'^2 = r^2.

Como os raios são positivos, r' = r.

Faz sentido: o volume caiu pela metade e a altura também, então a área da base não pode mudar. Base igual significa raio igual.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que a altura também foi reduzida à metade e atribui toda a redução de volume ao raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

AExtrai raiz de r, o que não decorre da relação entre os volumes.
BSupõe que o raio cai pela metade junto com o volume, esquecendo que a altura também caiu pela metade.
DDobra o raio, o que quadruplicaria a área da base e aumentaria o volume.
ENão é uma relação entre r' e r (falta o r) e não resulta da conta de volumes.

Assuntos: volume do cilindro, razão entre volumes.

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Questão 141 no caderno Cinza do ENEM PPL 2013