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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 169 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

O governo de um país criou o Fundo da Soja e do Milho, que tem como expectativa inicial arrecadar, por ano, R$ 36,14 milhões para investimento em pesquisas relacionadas aos principais produtos da agricultura. Com isso, a cada operação de venda, seriam destinados ao Fundo R$ 0,28 por tonelada de soja e R$ 0,22 por tonelada de milho comercializadas. Para este ano, espera-se que as quantidades de toneladas produzidas, de soja e de milho, juntas, seja 150,5 milhões.

Foi pedido a cinco funcionários do Fundo, André, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo, que apresentassem um sistema que modelasse os dados apresentados. Cada funcionário apresentou um sistema diferente, considerando x e y como as quantidades de toneladas comercializadas, respectivamente, de soja e de milho. O resultado foi o seguinte:

André \begin{cases} x + y = 150\ 500\ 000 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36\ 140\ 000 \end{cases}

Bruno \begin{cases} 100\ 000\ 000x + 100\ 000\ 000y = 150{,}5 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36\ 140\ 000 \end{cases}

Caio \begin{cases} x + y = 150{,}5 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36\ 140\ 000 \end{cases}

Douglas \begin{cases} x + y = 150{,}5 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36{,}14 \end{cases}

Eduardo \begin{cases} x + y = 150\ 500\ 000 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36{,}14 \end{cases}

O funcionário que fez a modelagem correta foi

  1. A
    André.
  2. B
    Bruno.
  3. C
    Caio.
  4. D
    Douglas.
  5. E
    Eduardo.
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Resolução comentada

Para modelar, é preciso que as unidades das duas equações combinem com as unidades de x e y, que são toneladas (não milhões de toneladas).

Primeira equação, a das quantidades:

  1. O total de soja e milho é 150{,}5 milhões de toneladas, ou seja, 150\ 500\ 000 toneladas.
  2. Logo, x + y = 150\ 500\ 000.

Segunda equação, a da arrecadação:

  1. Cada tonelada de soja rende R$ 0,28 e cada tonelada de milho rende R$ 0,22.
  2. A arrecadação em reais é 0{,}28x + 0{,}22y.
  3. O valor esperado é R$ 36,14 milhões, isto é, R$ 36\ 140\ 000.
  4. Logo, 0{,}28x + 0{,}22y = 36\ 140\ 000.

O sistema correto é

\begin{cases} x + y = 150\ 500\ 000 \\ 0{,}28x + 0{,}22y = 36\ 140\ 000 \end{cases}

Esse é exatamente o sistema de André. Os outros misturam unidades: usam 150{,}5 (milhões) com x e y em toneladas, ou 36{,}14 (milhões de reais) com preços em reais, ou multiplicam por 100\ 000\ 000 em vez de 1\ 000\ 000.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B, C, D e E misturam milhões com unidades; só André mantém toneladas e reais em ambas as equações.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bmultiplica x e y por 100\ 000\ 000 (o correto seria 1\ 000\ 000) e mistura escalas.
  • Cusa 150{,}5 (milhões) na primeira equação e 36\ 140\ 000 (unidades) na segunda, unidades inconsistentes.
  • Dusa milhões nas duas equações, mas os preços 0{,}28 e 0{,}22 são por tonelada, em reais, e x, y estão em toneladas.
  • Eusa toneladas na primeira equação, mas 36{,}14 (milhões de reais) na segunda, unidades inconsistentes.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Ver como caiu na prova Questão 169 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012