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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Cilindro

Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

  • copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
  • copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.

Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

V_{\text{tronco de cone}} = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + Rr)

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y^2 seja, no mínimo, igual a

  1. A
    2,664 cm.
  2. B
    7,412 cm.
  3. C
    12,160 cm.
  4. D
    14,824 cm.
  5. E
    19,840 cm.
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Resolução comentada

A caneca serve para café e para água, então precisa comportar o maior dos dois volumes, que é o do copo grande. Vamos calcular os dois troncos e comparar.

O volume do cilindro é V = \pi y^2 \cdot 6. O do tronco é \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr).

  1. Copo pequeno (R = 2{,}4; r = 1{,}8; h = 3{,}6):

R^2 + r^2 + Rr = 5{,}76 + 3{,}24 + 4{,}32 = 13{,}32

V_p = \frac{\pi \cdot 3{,}6}{3}\cdot 13{,}32 = 1{,}2\pi \cdot 13{,}32 = 15{,}984\pi

  1. Copo grande (R = 3{,}6; r = 2{,}4; h = 8):

R^2 + r^2 + Rr = 12{,}96 + 5{,}76 + 8{,}64 = 27{,}36

V_g = \frac{8\pi}{3}\cdot 27{,}36 = 8\pi \cdot 9{,}12 = 72{,}96\pi

  1. O maior volume é o do copo grande. A caneca deve ter volume no mínimo igual a ele:

6\pi y^2 \geq 72{,}96\pi \Rightarrow y^2 \geq \frac{72{,}96}{6} = 12{,}16

Logo, y^2 deve ser no mínimo 12{,}16 (o enunciado dá a unidade como cm, mas o valor é o de y^2).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o volume do copo grande; não resulta da comparação dos volumes.
  • BNão corresponde ao volume do copo grande dividido por 6\pi; erro de cálculo dos termos do tronco.
  • DÉ o dobro de 7,412, resultado de conta incorreta; não é 72{,}96/6.
  • EProvavelmente soma os volumes dos dois copos em vez de usar apenas o maior, ou erra o cálculo.

Assuntos: Cilindro, Cone e tronco de cone.

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Ver como caiu na prova Questão 165 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012