PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Inequações e desigualdades

Um curso preparatório oferece aulas de 8 disciplinas distintas. Um aluno, ao se matricular, escolhe de 3 a 8 disciplinas para cursar. O preço P, em reais, da mensalidade é calculado pela fórmula P(n) = 980 - \frac{1\text{ }680}{n}, onde n é o número de disciplinas escolhidas pelo aluno.

Alex deseja matricular seu filho Júlio e, consultando seu orçamento familiar mensal, avaliou que poderia pagar uma mensalidade de, no máximo, R$ 720,00.

O número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher ao se matricular nesse curso, sem estourar o orçamento familiar, é igual a

  1. A
    3.
  2. B
    4.
  3. C
    6.
  4. D
    7.
  5. E
    8.
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Resolução comentada

A mensalidade depende do número de disciplinas n pela fórmula P(n) = 980 - \frac{1\,680}{n}. O orçamento exige P(n) \le 720, então basta resolver essa desigualdade.

  1. Monte a desigualdade: 980 - \dfrac{1\,680}{n} \le 720.
  2. Isole a fração: 260 \le \dfrac{1\,680}{n}.
  3. Como n > 0, multiplicar por n não inverte o sentido: 260n \le 1\,680.
  4. Divida: n \le \dfrac{1\,680}{260} \approx 6{,}46.

Como n é inteiro, o maior valor possível é n = 6.

Confirmando com os valores vizinhos:

  • n = 6: P = 980 - 280 = 700, que é no máximo 720.
  • n = 7: P = 980 - 240 = 740, que passa de 720.

À medida que n cresce, a fração \frac{1\,680}{n} diminui e a mensalidade aumenta. Por isso o limite de R$ 720,00 impõe um número máximo de disciplinas: 6.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A3 é o mínimo de disciplinas permitido, não o máximo que cabe no orçamento.
  • B4 cabe no orçamento (R$ 560,00), mas não é o maior valor possível.
  • DCom 7 disciplinas a mensalidade é R$ 740,00, acima do limite de R$ 720,00.
  • ECom 8 disciplinas a mensalidade é R$ 770,00, acima do limite; é só o máximo do curso.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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