PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 164 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a figura.

Quadro retangular dividido em uma malha de 6 por 2 retângulos (mosaicos). No interior há uma região sombreada formada pela diferença entre dois losangos de vértices superior e inferior coincidentes no ponto médio das bordas superior e inferior do quadro: o losango maior tem vértices laterais nas bordas extremas esquerda e direita, e o menor tem vértices laterais recuados na primeira linha vertical interna de cada lado.

A área da figura sombreada do quadro é de

  1. A
    36\ \text{cm}^2.
  2. B
    72\ \text{cm}^2.
  3. C
    144\ \text{cm}^2.
  4. D
    288\ \text{cm}^2.
  5. E
    432\ \text{cm}^2.
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Resolução comentada

Primeiro, as dimensões do quadro. Ele tem 6 mosaicos na horizontal e 2 na vertical, e cada mosaico mede 12 cm por 6 cm. Pela figura, as colunas são estreitas e altas, então a largura de cada mosaico é 6 cm e a altura é 12 cm. O quadro mede então 6\times 6=36\ \text{cm} de largura e 2\times 12=24\ \text{cm} de altura.

A região sombreada é a diferença entre dois losangos, e a área de um losango é \frac{D\cdot d}{2}, em que D e d são as diagonais.

  1. Losango maior: diagonal horizontal de 36 cm (de borda a borda) e diagonal vertical de 24 cm.

    A_{maior}=\frac{36\cdot 24}{2}=432\ \text{cm}^2

  2. Losango menor: a diagonal vertical continua 24 cm. Os vértices laterais estão na primeira linha vertical interna de cada lado, ou seja, a 6 cm das bordas. A diagonal horizontal é 36-12=24 cm.

    A_{menor}=\frac{24\cdot 24}{2}=288\ \text{cm}^2

  3. Área sombreada:

    432-288=144\ \text{cm}^2

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito pequeno, sem relação com a diferença entre as áreas dos losangos.
  • BCorresponde a metade da área correta, provavelmente de usar só metade da região sombreada.
  • DÉ a área do losango menor, esquecendo de subtraí-la do maior.
  • EÉ a área do losango maior, sem descontar o losango menor.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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