PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 177 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Cilindro

Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.

Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.

Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?

  1. A
    a = \dfrac{h}{12}
  2. B
    a = \dfrac{h}{6}
  3. C
    a = \dfrac{2h}{3}
  4. D
    a = \dfrac{4h}{3}
  5. E
    a = \dfrac{4h}{9}
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Resolução comentada

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h. Chamando de r o raio da embalagem tradicional, seu volume é V = \pi r^2 h.

A nova embalagem tem:

  • capacidade igual à terça parte da tradicional: V' = \dfrac{V}{3};
  • raio igual à metade: r' = \dfrac{r}{2};
  • altura desconhecida: a.

Calculando:

  1. Volume da nova embalagem: V' = \pi \left(\dfrac{r}{2}\right)^2 a = \pi \dfrac{r^2}{4}\, a.
  2. Igualando a um terço do volume original:
    \pi \dfrac{r^2}{4}\, a = \dfrac{\pi r^2 h}{3}
  3. Cancelando \pi r^2 dos dois lados: \dfrac{a}{4} = \dfrac{h}{3}.
  4. Isolando a: a = \dfrac{4h}{3}.

Faz sentido: reduzir o raio à metade divide a área da base por 4, então a altura precisa aumentar para compensar. Como o volume deve cair só para \frac{1}{3}, a altura fica multiplicada por \frac{4}{3}, ou seja, maior que h.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que o raio é elevado ao quadrado e reduz a altura em vez de aumentá-la; a altura nova deve ser maior que h.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amultiplica os fatores 1/4 e 1/3 em vez de compensar a redução da área da base com a altura.
  • Bcombina a metade do raio com a terça parte de modo incorreto, chegando a 1/6 da altura.
  • Cignora que a área da base depende do quadrado do raio, tratando a redução do raio como linear.
  • Emultiplica 4 por 1/3 e depois por 1/3 de novo, aplicando a redução de capacidade duas vezes.

Assunto: Cilindro.

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