PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 137 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

Desenho em perspectiva de um paralelepípedo representando o salão, com o ponto A localizado na extremidade inferior da parede lateral direita e o ponto B localizado na aresta superior do teto. Há uma linha traçada no teto e na parede lateral conectando os dois pontos.

Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto.

O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:

  1. A
    Planificação das faces do teto e da parede lateral, com um trajeto que vai de B até o meio da aresta comum e segue em linha reta horizontal até A.
  2. B
    Planificação das faces do teto e da parede lateral, com um trajeto ligando B à base da aresta divisória e depois subindo até o ponto A.
  3. C
    Planificação das faces do teto e da parede lateral, com um trajeto que vai horizontalmente de B até o topo da aresta divisória e depois desce em linha reta até A.
  4. D
    Planificação das faces do teto e da parede lateral, com um trajeto que desce verticalmente a partir de B e segue horizontalmente em ângulo reto até A.
  5. E
    Planificação das faces do teto e da parede lateral, com um único segmento de reta direto conectando o ponto B ao ponto A.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O cabo passa por duas faces: o teto e a parede lateral, que se encontram numa aresta. Para achar o caminho mais curto sobre faces que se encontram, imagine que as duas faces são abertas até ficarem no mesmo plano (planificação). Em um plano, o menor caminho entre dois pontos é o segmento de reta que os une.

Portanto, o cabo mais curto corresponde, na planificação, a um único segmento ligando B a A, que atravessa a aresta comum no ponto em que a reta cruza essa aresta.

Conferindo as representações:

  1. Nas alternativas A, B, C e D, o trajeto é uma linha quebrada: há um desvio por um ponto da aresta (meio, base ou topo) ou um percurso em ângulo reto.
  2. Em qualquer linha quebrada entre B e A, pela desigualdade triangular, o comprimento total é maior que o do segmento reto entre as mesmas extremidades.
  3. Só a alternativa E mostra o segmento reto direto de B até A na planificação.

Assim, o menor comprimento do cabo é dado pelo segmento retilíneo da figura planificada, pois qualquer outro caminho seria mais longo.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AFaz o trajeto quebrar no meio da aresta comum, formando uma linha quebrada mais longa que o segmento reto.
  • BDesce até a base da aresta e sobe de volta, um desvio grande que alonga muito o caminho.
  • CVai até o topo da aresta e depois desce, linha quebrada que não é o segmento direto.
  • DUsa trajeto em ângulo reto (vertical e horizontal), que é a soma dos catetos, maior que a hipotenusa.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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