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Questão 29 (CFS 1) da EEAR 2027

CFS 1 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– Sejam A, B, C e D pontos de uma circunferência e P um ponto externo a ela, sendo todos no mesmo plano. Os pontos P, A e B são colineares, assim como os pontos P, C e D. Se \text{PA} = 6\text{ cm}, \text{AB} = 8\text{ cm}, \text{PC} = 8\text{ cm}, e sabendo que C está entre P e D, tem-se que \text{CD} = ______ \text{cm}.

  1. A
    2{,}5
  2. B
    3{,}5
  3. C
    5
  4. D
    6
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Resolução comentada

Aqui vale a potência de um ponto externo: se por P traçamos duas secantes à circunferência, o produto da distância de P ao ponto mais próximo pela distância ao ponto mais distante é o mesmo nas duas secantes.

Na primeira secante, P, A, B são colineares e PA = 6, AB = 8. Como P é externo, A é o ponto mais próximo e B o mais distante:

PB = PA + AB = 6 + 8 = 14\ \text{cm}

Na segunda secante, C está entre P e D, então C é o mais próximo e D o mais distante. Com PC = 8 e CD = x, temos PD = 8 + x.

Igualando as potências:

  1. PA \cdot PB = PC \cdot PD
  2. 6 \cdot 14 = 8\cdot(8 + x)
  3. 84 = 64 + 8x
  4. 8x = 20
  5. x = 2{,}5\ \text{cm}

Confirmando: PD = 10{,}5 e 8 \cdot 10{,}5 = 84, igual a 6\cdot 14.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa PA\cdot AB = PC\cdot CD (esquecendo que a secante inteira é PB e PD), obtendo 48/8 = 6 (alternativa D).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResulta de erro de conta ao isolar x, sem correspondência com a relação PA\cdot PB = PC\cdot PD.
  • CUsa PB = 8 ou iguala PA\cdot AB a PC\cdot CD de forma incorreta, sem somar PA ao segmento secante.
  • DToma PD = 14 e confunde com PB, ou iguala CD a PA, o que não decorre da potência de ponto.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: EEAR 2027 · CFS 1. Prova oficial ↗