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Questão 75 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Física: Gravitação universal e satélites

– Ao final de uma aula de Física sobre a Lei da Gravitação Universal e corpos em órbita, o professor lançou o seguinte desafio aos alunos: “determinem o período (\text{T}) do movimento de um satélite artificial que irá descrever uma órbita circular em torno do nosso planeta”. Adotando a altura da órbita como \text{h} (em relação a superfície do planeta), o raio da Terra como \text{R}, a massa da Terra como \text{M} e \text{G} como a constante de gravitação universal, assinale a alternativa que apresenta corretamente o quadrado do período (\text{T}^2) do movimento deste satélite.

  1. A
    \dfrac{4\pi^2\ (\text{R} + \text{h})^2}{(\text{GM})^2}
  2. B
    \dfrac{2\pi\ (\text{GM})}{(\text{R} + \text{h})^3}
  3. C
    \dfrac{4\pi^2\ (\text{R} + \text{h})^2}{\text{GM}}
  4. D
    \dfrac{4\pi^2\ (\text{R} + \text{h})^3}{\text{GM}}
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Resolução comentada

O satélite descreve uma órbita circular de raio r = R + h, medido a partir do centro da Terra (por isso soma-se a altura ao raio do planeta). A força gravitacional é a resultante centrípeta do movimento.

Passo a passo:

  1. Força gravitacional: F = \dfrac{GMm}{(R+h)^2}.
  2. Resultante centrípeta: F_c = m\omega^2 (R+h), com \omega = \dfrac{2\pi}{T}, ou seja, F_c = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}(R+h).
  3. Igualando as duas forças:
\dfrac{GMm}{(R+h)^2} = m\,\dfrac{4\pi^2}{T^2}(R+h)
  1. Cancelando m e isolando T^2:
T^2 = \dfrac{4\pi^2 (R+h)^3}{GM}

Essa é a 3ª Lei de Kepler: o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita. O resultado não depende da massa do satélite.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem (R+h)^2 no numerador e (GM)^2 no denominador, o que não resulta da igualdade entre força gravitacional e centrípeta.
  • BUsa 2\pi em vez de 4\pi^2, coloca (R+h)^3 no denominador e GM no numerador, invertendo a relação.
  • CUsa (R+h)^2 em vez de (R+h)^3, erro de potência ao isolar T^2 (esquece um fator R+h da força centrípeta).

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗