PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 65 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Cilindro

– Um objeto metálico maciço é formado por um cilindro circular reto, de raio da base medindo R\text{ cm} e H\text{ cm} de altura, justaposto a 2 semiesferas de raio R\text{ cm}, conforme a figura dada. Se o objeto tem 13\text{ cm} de comprimento e 78\pi\text{ cm}^2 de área total, então o valor de H é _____ cm.

Cápsula formada por cilindro de altura H e raio R com duas semiesferas de raio R em suas extremidades, com comprimento total indicado como 13 cm.

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. D
    7
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Resolução comentada

O objeto é um cilindro com uma semiesfera em cada extremidade. Como as duas semiesferas juntas formam uma esfera completa de raio R, a área total é a soma da área lateral do cilindro com a área de uma esfera. As bases do cilindro ficam coladas nas semiesferas, então não entram na conta.

  1. Comprimento: H + 2R = 13, logo H = 13 - 2R.

  2. Área total:

    A = 2\pi R H + 4\pi R^2 = 78\pi

  3. Dividindo por 2\pi:

    RH + 2R^2 = 39

  4. Substituindo H = 13 - 2R:

    R(13 - 2R) + 2R^2 = 39

    13R - 2R^2 + 2R^2 = 39

    13R = 39 \Rightarrow R = 3\ \text{cm}

  5. Então H = 13 - 2\cdot 3 = 7\ \text{cm}.

Conferindo: 2\pi\cdot 3\cdot 7 + 4\pi\cdot 9 = 42\pi + 36\pi = 78\pi. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de erro na substituição ou de confundir H com outra medida; não satisfaz H+2R=13 com a área dada.
  • BCom H=5 teríamos R=4 e área 40\pi+64\pi=104\pi, diferente de 78\pi.
  • CCom H=6 teríamos R=3{,}5 e área 42\pi+49\pi=91\pi, diferente de 78\pi.

Assuntos: Cilindro, Esfera.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗