Questão 63 (CFS 1) da EEAR 2024

Queremos \dfrac{2x+1}{x-3} \ge 1, com x \ne 3, pois g(3)=0.

Não multiplicamos os dois lados por x-3, porque o sinal dele é desconhecido e poderia inverter a desigualdade. Passamos o 1 para o outro lado e juntamos tudo numa única fração:

1. \dfrac{2x+1}{x-3} - 1 \ge 0
2. \dfrac{2x+1-(x-3)}{x-3} \ge 0
3. \dfrac{x+4}{x-3} \ge 0

Agora estudamos o sinal do quociente. O numerador se anula em x=-4 e o denominador em x=3.

• Para x<-4: numerador negativo e denominador negativo, então o quociente é positivo.
• Para -4<x<3: numerador positivo e denominador negativo, então o quociente é negativo.
• Para x>3: ambos positivos, então o quociente é positivo.

Em x=-4 o quociente vale 0, e 0 \ge 0 é verdade, logo -4 entra. Em x=3 a fração não existe, logo 3 fica de fora.

Solução: x \le -4 ou x > 3.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem multiplica por x-3 sem considerar o sinal, obtendo x\ge -4 e esquecendo a restrição do denominador.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIntervalo que não satisfaz a desigualdade; por exemplo, x=3{,}5 dá 8/0{,}5=16, mas x=3 não existe e o conjunto correto vai além de 4.
• BÉ justamente a região em que o quociente é negativo (entre -4 e 3), além de incluir x=3, que zera o denominador.
• DVem de resolver 2x+1 \ge x-3 ou de usar a raiz de f (-1/2), ignorando o estudo de sinal de \frac{x+4}{x-3}.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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