Questão 52 (CFS 1) da EEAR 2024

As mediatrizes de \overline{AB} e \overline{BC} se encontram no centro O da circunferência circunscrita ao pentágono, pois o centro é equidistante de todos os vértices.

Sejam M o ponto médio de \overline{AB} e N o ponto médio de \overline{BC}. Cada mediatriz é perpendicular ao lado correspondente. Então o quadrilátero BMON tem:

1. \hat{M} = 90^\circ (mediatriz perpendicular a AB);
2. \hat{N} = 90^\circ (mediatriz perpendicular a BC);
3. \hat{B} = 108^\circ, o ângulo interno do pentágono regular, calculado por \dfrac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5}=108^\circ.

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360^\circ, o ângulo em O, que é o ângulo entre as mediatrizes e fica oposto ao vértice B, vale:

Confirmando: \hat{O} é também o ângulo central que enxerga o lado \overline{AB} até \overline{BC}, isto é, \dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A36^\circ é a metade do ângulo central, o ângulo que cada mediatriz faz com a reta que liga O a um vértice, e não o ângulo entre as mediatrizes.
• B54^\circ é o ângulo da base do triângulo OAB, ou seja, metade de 108^\circ, e não o ângulo pedido.
• D108^\circ é o ângulo interno do pentágono em B, não o ângulo em O oposto a ele.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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