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Questão 50 (CFS 1) da EEAR 2024

CFS 1 · Matemática: Cilindro

– Seja um cilindro circular reto de raio da base medindo 3\text{ cm} e de 12\text{ cm} de altura. Ele é seccionado por dois planos que passam por um ponto P, pertencente a uma geratriz do cilindro, distando 3\text{ cm} de uma das bases, conforme representado na figura. Considerando as medidas apresentadas, todas em cm, o volume da parte sombreada é _____ \pi\text{ cm}^3.

Cilindro circular reto seccionado por dois planos passando pelo ponto P na geratriz esquerda, a 3 cm da base inferior. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro e o outro é inclinado, interceptando a geratriz oposta a 3 cm da base superior. As cotas indicam: à esquerda, altura total dividida em 9 e 3 pelo ponto P; à direita, distância de 3 do topo até o plano inclinado e 3 da base até o corte horizontal.

  1. A
    9
  2. B
    27
  3. C
    54
  4. D
    81
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Resolução comentada

A parte sombreada é um cilindro "truncado" (casca de cilindro cortada por um plano inclinado), limitado embaixo por um plano perpendicular ao eixo e em cima por um plano inclinado.

Pela figura, o ponto P está a 3 cm da base inferior, e o plano horizontal passa por P. Então a geratriz esquerda (em P) tem altura 0 acima do plano horizontal. Na geratriz oposta, o plano inclinado encontra o cilindro a 3 cm do topo, ou seja, a 12 - 3 = 9 cm da base. Como o plano horizontal está a 3 cm da base, essa geratriz tem altura 9 - 3 = 6 cm acima do corte horizontal.

Assim, as alturas das geratrizes extremas, medidas a partir do plano horizontal, são 0 e 6.

O volume de um cilindro truncado é o volume de um cilindro cuja altura é a média das alturas das geratrizes extremas (o plano inclinado passa pelo centro da base superior, que fica na altura média):

h_{\text{média}}=\frac{0+6}{2}=3\ \text{cm}
  1. Área da base: A=\pi r^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\ \text{cm}^2.
  2. Volume: V=A\cdot h_{\text{média}}=9\pi\cdot 3=27\pi\ \text{cm}^3.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa a altura 6 da geratriz maior em vez da média entre 0 e 6.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula só a área da base (9\pi), esquecendo de multiplicar pela altura média.
  • CUsa altura 6 (a maior geratriz) em vez da média das alturas, dobrando o resultado.
  • DUsa altura 9 (distância de P ao plano superior na geratriz) em vez da altura média 3.

Assunto: Cilindro.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 1. Prova oficial ↗