PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 70 (CFS 1) da EEAR 2023

CFS 1 · Matemática: Números complexos

– Seja z um número complexo tal que z = \frac{x + 2xi}{1 - i}. O valor de x, para o qual z seja um número real, está contido no intervalo

  1. A
    [-3, 0]
  2. B
    [-2, 0[
  3. C
    ]-1, 0[
  4. D
    ]-2, -1]
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Resolução comentada

Para saber quando um complexo na forma de fração é real, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que elimina o i de baixo.

O denominador é 1-i, e seu conjugado é 1+i.

  1. Multiplicamos: z=\dfrac{x(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.
  2. Denominador: (1-i)(1+i)=1-i^2=2.
  3. Numerador: (1+2i)(1+i)=1+i+2i+2i^2=1+3i-2=-1+3i.
  4. Logo z=\dfrac{x(-1+3i)}{2}=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3x}{2}\,i.

Para z ser real, a parte imaginária deve ser zero: \dfrac{3x}{2}=0, então x=0.

Agora vemos qual intervalo contém x=0:

  • [-3,0] tem o 0 incluído (fechado em 0). Contém.
  • [-2,0[ exclui o 0.
  • ]-1,0[ exclui o 0.
  • ]-2,-1] termina em -1.

Só o intervalo da alternativa A contém x=0.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B e C parecem próximas de 0, mas são abertas em 0, e por isso não contêm a solução x = 0.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO intervalo é aberto em 0, então não contém x = 0.
  • CO intervalo é aberto em 0 e não contém x = 0.
  • DO intervalo vai de -2 a -1 e não chega ao 0.

Assuntos: Números complexos, Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 1. Prova oficial ↗