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Questão 68 (CFS 1) da EEAR 2023

CFS 1 · Matemática: Função quadrática

– Seja a função, definida em reais, f(x) = (kx - 1)^2 - 18, com k \in \mathbb{R}. Para que seu gráfico seja uma parábola cuja ordenada do vértice seja o valor mínimo da função, é necessário que

  1. A
    k = 0
  2. B
    k \le 0
  3. C
    k \ge 0
  4. D
    k \ne 0
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Resolução comentada

Para que o gráfico seja uma parábola, a função precisa ser do 2º grau. Para o vértice ser ponto de mínimo, a concavidade deve ser voltada para cima, ou seja, o coeficiente de x^2 deve ser positivo.

Desenvolvendo a função:

  1. f(x) = (kx-1)^2 - 18
  2. f(x) = k^2x^2 - 2kx + 1 - 18
  3. f(x) = k^2x^2 - 2kx - 17

O coeficiente de x^2 é a = k^2.

Condição para ser parábola: a \neq 0, ou seja, k \neq 0.

Condição para ter mínimo: a > 0, ou seja, k^2 > 0. Isso vale para qualquer k real diferente de zero, seja positivo ou negativo, pois o quadrado de um número real não nulo é sempre positivo.

Se k = 0, a função vira f(x) = 1 - 18 = -17, uma reta constante, e não uma parábola. Logo, não há vértice nem mínimo no sentido pedido.

Portanto, a única restrição é k \neq 0.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas B e C enganam quem acha que o sinal de k define a concavidade, esquecendo que o coeficiente de x^2 é k^2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom k=0 a função é constante (-17), uma reta, não uma parábola.
  • BSupõe que k negativo inverta a concavidade, mas o coeficiente é k^2, sempre positivo; além disso inclui k=0.
  • CSupõe que só k positivo serve, mas k negativo também dá k^2>0; além disso inclui k=0.

Assunto: Função quadrática.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 1. Prova oficial ↗